12. На боковых сторонах равнобедренного $$\triangle M N K$$ отложены равные отрезки $$N A$$ и $$N B$$. $$N D$$ — медиана. Докажите, что $$M D=N D$$.

Решение:

1. Рассмотрим $$\triangle M N K$$. Так как он равнобедренный, то углы при основании равны: \( \angle N M K = \angle N K M \).
2. По условию задачи \( N A = N B \).
3. Рассмотрим $$\triangle N A K$$ и $$\triangle N B M$$.
4. У них \( N A = N B \) (по условию), \( \angle N K M = \angle N M K \) (углы при основании равнобедренного треугольника), \( N K = N M \) (боковые стороны равнобедренного треугольника).
5. Следовательно, \( \triangle N A K = \triangle N B M \) по двум сторонам и углу между ними (второй признак равенства треугольников).
6. Из равенства треугольников следует, что \( A K = B M \).
7. Так как \( N D \) — медиана, то \( D \) — середина стороны \( M K \), следовательно, \( M D = D K \).
8. Рассмотрим \( \triangle N D K \). Так как \( \angle N K M \) — угол при основании, то \( \triangle N D K \) — равнобедренный. Отсюда следует, что \( N D = D K \).
9. Так как \( M D = D K \) и \( N D = D K \), то \( M D = N D \).

Доказано.