12. На рисунке даны BC = 3, AD = 9, ∠BAD = 30°, ∠ACB = 30°, ∠ABD = 80°, AC ⟂ BD, AD ⟂ CD. Найти ∠A, ∠B и BD.

Считаем, что ∠A и ∠B — внутренние углы четырёхугольника ABCD, как показано на рисунке.

1. В треугольнике ACD: ∠ACD = 180° − 90° − 30° = 60°. Поскольку ∠ACB = 30°, угол при C четырёхугольника равен 30° + 60° = 90°.
2. Так как AC ⟂ BD, в треугольнике ABO угол AOB равен 90°. При ∠ABO = 80° получаем ∠BAO = 10°. Угол A четырёхугольника равен ∠BAC + ∠CAD = 10° + 30° = 40°.
3. В треугольнике BCD угол при D равен 90°, а угол при C равен 90° − 30° = 60°. Поэтому ∠CBD = 30°, и угол B четырёхугольника равен 80° + 30° = 110°.
4. В треугольнике BCD сторона BC = 3 — гипотенуза, а BD лежит напротив угла 60°. Следовательно, BD = 3 · sin 60° = 3√3.

Полученные углы четырёхугольника согласуются: 40° + 110° + 90° + 120° = 360°.

Ответ: ∠A = 40°, ∠B = 110°, BD = 3√3.