12. На тарелке 10 пирожков: 2 с мясом, 6 с капустой и 2 с вишней. Петя наугад выбирает два пирожка. Найдите вероятность того, что они окажутся: А) с вишней и с капустой. Б) С мясом или вишней.

Решение:

Всего на тарелке 10 пирожков.

Количество пирожков с мясом: 2

Количество пирожков с капустой: 6

Количество пирожков с вишней: 2

Петя выбирает 2 пирожка наугад.

А) Вероятность того, что один пирожок с вишней, а другой с капустой.

1. Общее число способов выбрать 2 пирожка из 10:
   Это число сочетаний из 10 по 2, которое вычисляется по формуле: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
   \[ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \]
2. Число способов выбрать 1 пирожок с вишней из 2:
   \[ C(2, 1) = \frac{2!}{1!(2-1)!} = \frac{2!}{1!1!} = 2 \]
3. Число способов выбрать 1 пирожок с капустой из 6:
   \[ C(6, 1) = \frac{6!}{1!(6-1)!} = \frac{6!}{1!5!} = 6 \]
4. Число способов выбрать 1 пирожок с вишней И 1 пирожок с капустой:
   Перемножаем способы выбора из пунктов 2 и 3:
   \[ C(2, 1) \times C(6, 1) = 2 \times 6 = 12 \]
5. Вероятность события А:
   Делим число благоприятных исходов на общее число исходов:
   \[ P(A) = \frac{\text{Число способов выбрать 1 с вишней и 1 с капустой}}{\text{Общее число способов выбрать 2 пирожка}} = \frac{12}{45} = \frac{4}{15} \]

Б) Вероятность того, что пирожки окажутся с мясом или вишней.

Это означает, что оба выбранных пирожка могут быть с мясом, оба — с вишней, или один с мясом, а другой — с вишней.

1. Случай 1: Оба пирожка с мясом.
   Число способов выбрать 2 пирожка с мясом из 2:
   \[ C(2, 2) = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1 \]
2. Случай 2: Оба пирожка с вишней.
   Число способов выбрать 2 пирожка с вишней из 2:
   \[ C(2, 2) = \frac{2!}{2!(2-2)!} = \frac{2!}{2!0!} = 1 \]
3. Случай 3: Один пирожок с мясом, другой с вишней.
   Число способов выбрать 1 пирожок с мясом из 2 И 1 пирожок с вишней из 2:
   \[ C(2, 1) \times C(2, 1) = 2 \times 2 = 4 \]
4. Общее число благоприятных исходов для события Б:
   Суммируем исходы из случаев 1, 2 и 3:
   \[ 1 + 1 + 4 = 6 \]
5. Вероятность события Б:
   Делим общее число благоприятных исходов на общее число исходов:
   \[ P(Б) = \frac{\text{Число благоприятных исходов}}{\text{Общее число способов выбрать 2 пирожка}} = \frac{6}{45} = \frac{2}{15} \]

Ответ:

• А) Вероятность того, что один пирожок с вишней, а другой с капустой:

  \[ \frac{4}{15} \]

• Б) Вероятность того, что оба пирожка окажутся с мясом или вишней:

  \[ \frac{2}{15} \]