12. Напишите формулами как найти площади поверхности пирамиды (полную, боковую). Используя пирамиду из предыдущего задания

Давай разберем формулы для нахождения площади поверхности пирамиды.

1. Площадь боковой поверхности ($$S_{бок}$$):

Площадь боковой поверхности пирамиды – это сумма площадей всех ее боковых граней. Для правильной пирамиды это проще:

$$ S_{бок} = \frac{1}{2} \times P_{осн} \times a $$

Где:

• $$P_{осн}$$ – периметр основания пирамиды.
• $$a$$ – апофема (высота боковой грани).

Объяснение: Боковые грани правильной пирамиды – это равные равнобедренные треугольники. Площадь одного такого треугольника равна \( \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} \). Основание треугольника – это сторона многоугольника в основании пирамиды, а высота – это апофема ($$a$$). Когда мы суммируем площади всех таких треугольников, у нас получается $$S_{бок} = n \times \frac{1}{2} \times b \times a$$, где $$n$$ – число боковых граней, а $$b$$ – длина стороны основания. Поскольку $$P_{осн} = n \times b$$, то формула упрощается до $$S_{бок} = \frac{1}{2} \times P_{осн} \times a$$.

2. Площадь полной поверхности ($$S_{полн}$$):

Площадь полной поверхности пирамиды – это сумма площади основания и площади боковой поверхности.

$$ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} $$

Где:

• $$S_{осн}$$ – площадь основания пирамиды.
• $$S_{бок}$$ – площадь боковой поверхности пирамиды (формула выше).

Используя пример из предыдущего задания (правильная четырехугольная пирамида):

Пусть сторона основания квадрата равна $$b$$, а апофема равна $$a$$. Тогда:

• Периметр основания: $$P_{осн} = 4 \times b$$
• Площадь основания: $$S_{осн} = b^2$$
• Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = \frac{1}{2} \times (4 \times b) \times a = 2 \times b \times a$$
• Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = b^2 + 2 \times b \times a$$

Ответ:

• Площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = \frac{1}{2} \times P_{осн} \times a$$
• Площадь полной поверхности: $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$$