12. Найди наименьшее значение функции y = 33 cos (x) + 34x + 1 на отрезке [0; 3π/2].

Решение:

1. Находим производную функции:
   Производная функции y = 33 cos(x) + 34x + 1 будет y' = -33 sin(x) + 34.
2. Приравниваем производную к нулю:
   y' = 0 ⇒ -33 sin(x) + 34 = 0 ⇒ sin(x) = 34/33.
3. Анализируем полученное уравнение:
   Так как значение синуса не может быть больше 1, уравнение sin(x) = 34/33 не имеет решений. Это означает, что на заданном отрезке функция является монотонной (либо только возрастает, либо только убывает).
4. Определяем монотонность функции:
   Рассмотрим знак производной y' = -33 sin(x) + 34 на отрезке [0; 3π/2].
   На этом отрезке sin(x) принимает значения от 0 до 1.
   Следовательно, -33 sin(x) принимает значения от -33 до 0.
   Тогда -33 sin(x) + 34 принимает значения от 1 (при sin(x)=1) до 34 (при sin(x)=0).
   Поскольку производная y' всегда положительна на данном отрезке, функция y = 33 cos(x) + 34x + 1 возрастает на отрезке [0; 3π/2].
5. Находим наименьшее значение:
   Так как функция возрастает, наименьшее значение будет достигаться на левой границе отрезка, то есть при x = 0.
   y(0) = 33 cos(0) + 34(0) + 1 = 33 * 1 + 0 + 1 = 34.
6. Находим значение на правой границе отрезка (для полноты картины):
   y(3π/2) = 33 cos(3π/2) + 34(3π/2) + 1 = 33 * 0 + 51π + 1 = 51π + 1.
7. Сравниваем значения:
   Наименьшее значение функции равно 34.

Ответ: 34