12. Найдите наименьшее значение функции y=(2x+9)·e^{10+2x} на отрезке [-11;-4].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции \( y = (2x+9) \cdot e^{10+2x} \) на отрезке \( [-11, -4] \) найдем производную функции.

Используем правило производной произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = 2x+9 \) и \( v = e^{10+2x} \).

Тогда \( u' = 2 \).

Для нахождения \( v' \) используем правило производной сложной функции: \( (e^{f(x)})' = e^{f(x)} · f'(x) \).

В нашем случае \( f(x) = 10+2x \), следовательно \( f'(x) = 2 \).

Таким образом, \( v' = e^{10+2x} · 2 = 2e^{10+2x} \).

Теперь найдем производную функции \( y \):

\[ y' = u'v + uv' = 2 \cdot e^{10+2x} + (2x+9) · 2e^{10+2x} \]

Вынесем общий множитель \( 2e^{10+2x} \) за скобки:

\[ y' = 2e^{10+2x} (1 + (2x+9)) = 2e^{10+2x} (1 + 2x + 9) = 2e^{10+2x} (2x+10) \]

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\[ 2e^{10+2x} (2x+10) = 0 \]

Так как \( 2e^{10+2x} \) всегда больше нуля, то:

\[ 2x+10 = 0 \]

\[ 2x = -10 \]

\[ x = -5 \]

Проверим, принадлежит ли найденная критическая точка \( x = -5 \) заданному отрезку \( [-11, -4] \). Да, принадлежит.

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

1. При \( x = -11 \):

\[ y(-11) = (2(-11)+9) · e^{10+2(-11)} = (-22+9) · e^{10-22} = -13 · e^{-12} = -\frac{13}{e^{12}} \]

2. При \( x = -4 \):

\[ y(-4) = (2(-4)+9) · e^{10+2(-4)} = (-8+9) · e^{10-8} = 1 · e^2 = e^2 \]

3. При \( x = -5 \) (критическая точка):

\[ y(-5) = (2(-5)+9) · e^{10+2(-5)} = (-10+9) · e^{10-10} = -1 · e^0 = -1 · 1 = -1 \]

Сравним полученные значения:

\( -\frac{13}{e^{12}} \) (очень маленькое отрицательное число), \( e^2 \) (положительное число), \( -1 \).

Наименьшее значение из них — \( -1 \).

Ответ: -1.