12. Найдите наименьшее значение функции y = 5 + 9x - x^3/3 на отрезке [-3;3].

Решение:

1. Найдём производную функции: \( y' = (5 + 9x - \frac{x^3}{3})' = 9 - \frac{3x^2}{3} = 9 - x^2 \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 9 - x^2 = 0 \) \( x^2 = 9 \) \( x = \pm 3 \).
3. Критические точки: \( x = -3 \) и \( x = 3 \).
4. Вычислим значения функции в критических точках и на границах отрезка \( [-3; 3] \). В данном случае критические точки совпадают с границами отрезка.
5. Вычислим значение функции на концах отрезка:
• При \( x = -3 \): \( y = 5 + 9(-3) - \frac{(-3)^3}{3} = 5 - 27 - \frac{-27}{3} = 5 - 27 + 9 = -13 \)
• При \( x = 3 \): \( y = 5 + 9(3) - \frac{3^3}{3} = 5 + 27 - \frac{27}{3} = 5 + 27 - 9 = 23 \)
6. Сравним полученные значения: \( -13 \) и \( 23 \). Наименьшее значение равно \( -13 \).

Ответ: -13