12. Найдите наименьшее значение функции y = e^(2x+3) * (x + 1) на отрезке [-2; 0].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на заданном отрезке, сначала найдем производную функции, затем найдем критические точки и сравним значения функции в критических точках и на концах отрезка.

1. Находим производную функции y = e^(2x+3) * (x + 1):

Используем правило произведения: (uv)' = u'v + uv'.

Пусть u = e^(2x+3), тогда u' = e^(2x+3) * 2 = 2e^(2x+3).

Пусть v = (x + 1), тогда v' = 1.

y' = (2e^(2x+3)) * (x + 1) + e^(2x+3) * 1

y' = e^(2x+3) * (2(x + 1) + 1)

y' = e^(2x+3) * (2x + 2 + 1)

y' = e^(2x+3) * (2x + 3)

2. Находим критические точки:

Приравниваем производную к нулю:

e^(2x+3) * (2x + 3) = 0

Поскольку e^(2x+3) всегда больше нуля, то:

2x + 3 = 0

2x = -3

x = -3/2 = -1.5

Критическая точка x = -1.5 попадает в отрезок [-2; 0].

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• При x = -2:

y = e^(2*(-2)+3) * (-2 + 1)

y = e^(-4+3) * (-1)

y = e^(-1) * (-1) = -1/e ≈ -0.368

• При x = -1.5:

y = e^(2*(-1.5)+3) * (-1.5 + 1)

y = e^(-3+3) * (-0.5)

y = e^0 * (-0.5) = 1 * (-0.5) = -0.5

• При x = 0:

y = e^(2*0+3) * (0 + 1)

y = e^3 * 1 = e^3 ≈ 20.086

4. Сравниваем значения:

Наименьшее значение среди {-1/e, -0.5, e^3} равно -0.5.

Ответ: -0.5