12. Найдите наименьшее значение функции y = log₂(x³ - 6x² - 15x + 108) на отрезке [-2; 6].

Решение

Чтобы найти наименьшее значение логарифмической функции, нужно найти наименьшее значение выражения под логарифмом, так как основание логарифма (2) больше 1, и функция возрастает.

Рассмотрим функцию f(x) = x³ - 6x² - 15x + 108.

Найдем производную функции:

f'(x) = 3x² - 12x - 15

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

3x² - 12x - 15 = 0

Разделим на 3:

x² - 4x - 5 = 0

Решим квадратное уравнение:

(x - 5)(x + 1) = 0

Критические точки: x = 5 и x = -1.

Оба значения находятся на отрезке [-2; 6].

Теперь найдем значения функции f(x) в критических точках и на концах отрезка:

f(-2) = (-2)³ - 6(-2)² - 15(-2) + 108 = -8 - 6(4) + 30 + 108 = -8 - 24 + 30 + 108 = 106

f(-1) = (-1)³ - 6(-1)² - 15(-1) + 108 = -1 - 6(1) + 15 + 108 = -1 - 6 + 15 + 108 = 116

f(5) = 5³ - 6(5)² - 15(5) + 108 = 125 - 6(25) - 75 + 108 = 125 - 150 - 75 + 108 = 8

f(6) = 6³ - 6(6)² - 15(6) + 108 = 216 - 6(36) - 90 + 108 = 216 - 216 - 90 + 108 = 18

Наименьшее значение функции f(x) на отрезке [-2; 6] равно 8 (при x = 5).

Теперь найдем наименьшее значение логарифмической функции:

y_min = log₂(8) = 3

Ответ: 3.