12. Найдите объем тела, полученного при вращении прямоугольного треугольника с катетом 7 см и прилежащим углом 30° вокруг меньшего катета.

Решение:

При вращении прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов образуется конус. В данном случае, меньший катет является осью вращения, поэтому он будет высотой конуса, а другой катет — радиусом основания.

1. Определим, какой катет является меньшим. Если прилежащий угол к катету 7 см равен 30°, то этот катет является прилежащим к углу 30°. Для вращения вокруг меньшего катета, нам нужно найти длину второго катета.
2. Пусть \(a\) — катет, равный 7 см, и \(\alpha = 30^{\circ}\) — прилежащий угол. Пусть \(b\) — второй катет. Тогда \(\tan(\alpha) = \frac{b}{a}\).
3. Вычислим длину второго катета: \(b = a \cdot \tan(\alpha) = 7 \cdot \tan(30^{\circ}) = 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{7}{\sqrt{3}}\) см.
4. Сравним катеты: \(a = 7\) см и \(b = \frac{7}{\sqrt{3}} \approx \frac{7}{1.732} \approx 4.04\) см. Следовательно, катет \(b\) является меньшим катетом.
5. Тело вращения — конус, где высота \(h = b = \frac{7}{\sqrt{3}}\) см, а радиус основания \(R = a = 7\) см.
6. Объем конуса вычисляется по формуле: \(V = \frac{1}{3}\pi R^2 h\).
7. Подставим значения: \[ V = \frac{1}{3} \pi \cdot (7)^2 \cdot \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{1}{3} \pi \cdot 49 \cdot \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{343\pi}{3\sqrt{3}} \text{ см}^3 \]
8. Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[ V = \frac{343\pi \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{343\pi \sqrt{3}}{9} \text{ см}^3 \]

Ответ: \(\frac{343\pi \sqrt{3}}{9}\) см³.