12. Найдите точку максимума функции y = (х+6)²+x

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, необходимо найти первую производную функции, приравнять её к нулю и найти критические точки. Затем нужно проверить, является ли найденная точка точкой максимума, используя вторую производную или анализ знака первой производной.

1. Найдем первую производную функции \( y = (x+6)^2 + x \).
   Используем правило производной суммы и правило производной сложной функции:
   \( y' = \frac{d}{dx}((x+6)^2 + x) = \frac{d}{dx}(x+6)^2 + \frac{d}{dx}(x) \)
   \( \frac{d}{dx}(x+6)^2 = 2(x+6) \frac{d}{dx}(x+6) = 2(x+6)(1) = 2x + 12 \)
   \( \frac{d}{dx}(x) = 1 \)
   Следовательно, \( y' = 2x + 12 + 1 = 2x + 13 \).
2. Приравняем первую производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 2x + 13 = 0 \)
   \( 2x = -13 \)
   \( x = -\frac{13}{2} = -6.5 \)
3. Теперь проверим, является ли эта точка точкой максимума. Найдем вторую производную:
   \( y'' = \frac{d}{dx}(2x + 13) = 2 \)
4. Так как \( y'' = 2 > 0 \) для всех \( x \), это означает, что функция имеет минимум в точке \( x = -6.5 \), а не максимум.
   Проверим условие задачи. В условии задачи указана функция \( y = (x+6)^2 + x \). Возможно, в условии была опечатка.
   Если функция была \( y = -(x+6)^2 + x \), то \( y' = -(2x+12) + 1 = -2x - 12 + 1 = -2x - 11 \).
   Приравняем к нулю: \( -2x - 11 = 0 \) \( -2x = 11 \) \( x = -\frac{11}{2} = -5.5 \).
   Вторая производная: \( y'' = -2 \).
   Так как \( y'' < 0 \), то \( x = -5.5 \) является точкой максимума.
5. Если функция верна, как указано в задании: \( y = (x+6)^2 + x \), то первая производная \( y' = 2x+13 \) равна нулю при \( x=-6.5 \). Вторая производная \( y'' = 2 \). Так как вторая производная положительна, то в точке \( x = -6.5 \) функция имеет локальный минимум. Функция не имеет точки максимума, так как вторая производная постоянно положительна.

Учитывая, что задача просит найти точку максимума, и полученная вторая производная положительна, можно предположить, что в условии задачи допущена опечатка. Если бы функция была \( y = -(x+6)^2 + x \), то точка максимума была бы \( x = -5.5 \). В представленном виде функция имеет только точку минимума.