12. Найдите точку максимума функции y = (x + 16)e^(x-3)

Решение:

Чтобы найти точку максимума функции, нужно найти производную функции и приравнять её к нулю.

Функция: \( y = (x + 16)e^{x-3} \)

Найдем производную, используя правило умножения: \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x + 16 \) и \( v = e^{x-3} \).

\( u' = 1 \)

\( v' = e^{x-3} \cdot 1 = e^{x-3} \)

\( y' = 1 · e^{x-3} + (x + 16) · e^{x-3} \)

\( y' = e^{x-3} (1 + x + 16) \)

\( y' = e^{x-3} (x + 17) \)

Приравняем производную к нулю:

\( e^{x-3} (x + 17) = 0 \)

Так как \( e^{x-3} \) всегда больше нуля, то \( x + 17 = 0 \).

\( x = -17 \)

Теперь проверим, является ли эта точка точкой максимума. Для этого возьмем значение производной до \( x = -17 \) (например, \( x = -18 \)) и после \( x = -17 \) (например, \( x = -16 \)).

При \( x = -18 \): \( y' = e^{-18-3} (-18 + 17) = e^{-21} (-1) < 0 \). Функция убывает.

При \( x = -16 \): \( y' = e^{-16-3} (-16 + 17) = e^{-19} (1) > 0 \). Функция возрастает.

Поскольку производная меняет знак с минуса на плюс, точка \( x = -17 \) является точкой минимума, а не максимума.

Ошибка в логике. Надо пересмотреть условие или график.

Перечитываем условие: