12. Найдите точку максимума функции y = -x^5 + 60x^3 + 13.

Question

Вопрос:

12. Найдите точку максимума функции y = -x^5 + 60x^3 + 13.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение:

Метод: Для нахождения точки максимума функции необходимо найти производную функции, приравнять её к нулю, решить полученное уравнение для нахождения критических точек, а затем определить, какая из них является точкой максимума, проверив знак второй производной или изменение знака первой производной.

Пошаговое решение:

Найдем первую производную функции y = -x⁵ + 60x³ + 13:

y' = d/dx (-x⁵ + 60x³ + 13)
y' = -5x⁴ + 180x²

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

-5x⁴ + 180x² = 0
-5x²(x² - 36) = 0
Это дает нам x² = 0 или x² - 36 = 0.
Из x² = 0 получаем x = 0.
Из x² - 36 = 0 получаем x² = 36, что дает x = 6 и x = -6.
Критические точки: x = -6, x = 0, x = 6.

Найдем вторую производную, чтобы определить тип экстремума:

y'' = d/dx (-5x⁴ + 180x²)
y'' = -20x³ + 360x

Проверим знак второй производной в критических точках:

При x = -6: y'' = -20(-6)³ + 360(-6) = -20(-216) - 2160 = 4320 - 2160 = 2160 > 0. Это точка минимума.
При x = 0: y'' = -20(0)³ + 360(0) = 0. Вторая производная равна нулю, нужно использовать первую производную для определения.
При x = 6: y'' = -20(6)³ + 360(6) = -20(216) + 2160 = -4320 + 2160 = -2160 < 0. Это точка максимума.

Проверим знак первой производной y' = -5x²(x² - 36) около x = 0:

Если x < 0 (например, x = -1), y' = -5(-1)²((-1)² - 36) = -5(1 - 36) = -5(-35) = 175 > 0.
Если x > 0 (например, x = 1), y' = -5(1)²((1)² - 36) = -5(1 - 36) = -5(-35) = 175 > 0.
Так как знак первой производной не меняется при переходе через x = 0, эта точка не является ни максимумом, ни минимумом.

Точка максимума находится при x = 6. Найдем значение y в этой точке:

y = -(6)⁵ + 60(6)³ + 13
y = -7776 + 60(216) + 13
y = -7776 + 12960 + 13
y = 5197

Ответ: (6, 5197)