12 Найдите точку минимума функции у = х²-20х+481nx-97.

Чтобы найти точку минимума функции, нужно найти производную этой функции и приравнять её к нулю.

Функция: $$y = x^2 - 20x + 48 \textrm{ln } x - 97$$.

Найдем производную $$y'$$:

$$y' = \frac{d}{dx}(x^2) - \frac{d}{dx}(20x) + \frac{d}{dx}(48 \textrm{ln } x) - \frac{d}{dx}(97)$$

$$y' = 2x - 20 + 48 \cdot \frac{1}{x} - 0$$

$$y' = 2x - 20 + \frac{48}{x}$$

Теперь приравняем производную к нулю:

$$2x - 20 + \frac{48}{x} = 0$$

Умножим всё уравнение на $$x$$ (учитывая, что $$x > 0$$ для $$\textrm{ln } x$$):

$$2x^2 - 20x + 48 = 0$$

Разделим всё уравнение на 2:

$$x^2 - 10x + 24 = 0$$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: ищем два числа, произведение которых равно 24, а сумма равна 10. Это числа 6 и 4.

Итак, $$x_1 = 4$$ и $$x_2 = 6$$.

Теперь нужно проверить, является ли каждая из этих точек точкой минимума. Для этого найдём вторую производную:

$$y'' = \frac{d}{dx}(2x - 20 + 48x^{-1})$$

$$y'' = 2 - 0 + 48 \cdot (-1)x^{-2}$$

$$y'' = 2 - \frac{48}{x^2}$$

Проверим $$x = 4$$:

$$y''(4) = 2 - \frac{48}{4^2} = 2 - \frac{48}{16} = 2 - 3 = -1$$.

Так как вторая производная отрицательна ($$y''(4) < 0$$), то в точке $$x = 4$$ находится локальный максимум.

Проверим $$x = 6$$:

$$y''(6) = 2 - \frac{48}{6^2} = 2 - \frac{48}{36} = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6}{3} - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$$.

Так как вторая производная положительна ($$y''(6) > 0$$), то в точке $$x = 6$$ находится локальный минимум.

Ответ: 6