12. Найдите точку минимума функции y = -21x² - x³ + 32.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Найдем производную функции \(y = -21x^2 - x^3 + 32\):
• \(y' = \frac{d}{dx}(-21x^2 - x^3 + 32)\)
• \(y' = -42x - 3x^2\)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
• \(-42x - 3x^2 = 0\)
• \(-3x(14 + x) = 0\)
• Это дает нам две критические точки: \(x = 0\) и \(x = -14\).
3. Исследуем знак производной в интервалах, образованных этими точками:
• Интервал \(x < -14\): Возьмем \(x = -15\). \(y' = -42(-15) - 3(-15)^2 = 630 - 3(225) = 630 - 675 = -45\) (производная отрицательна, функция убывает).
• Интервал \(-14 < x < 0\): Возьмем \(x = -1\). \(y' = -42(-1) - 3(-1)^2 = 42 - 3(1) = 42 - 3 = 39\) (производная положительна, функция возрастает).
• Интервал \(x > 0\): Возьмем \(x = 1\). \(y' = -42(1) - 3(1)^2 = -42 - 3 = -45\) (производная отрицательна, функция убывает).
4. Точка минимума находится там, где производная меняет знак с минуса на плюс. Это происходит при \(x = -14\).

Ответ: -14