12. Найдите углы треугольников KRF и RFT, если ∠RKF = 90°, ∠RFT = 90° и ∠RTF = 45°.

В треугольнике RFT сумма углов равна 180°:

∠FRT = 180° − 90° − 45° = 45°.

Значит, треугольник RFT — прямоугольный равнобедренный.

В четырёхугольнике KRFT сумма углов равна 360°. Углы при K и F прямые, угол при T равен 45°, поэтому внутренний угол при R равен:

∠KRT = 360° − 90° − 90° − 45° = 135°.

Диагональ RF делит угол KRT на углы KRF и FRT. Следовательно, ∠KRF = 135° − 45° = 90°. В треугольнике KRF также ∠RKF = 90°, поэтому ∠KFR = 0°? Проверка суммы углов показывает противоречие: ∠KRF и ∠RKF не могут одновременно быть прямыми в невырожденном треугольнике.

На рисунке значок прямого угла при F относится к углу RFT, а не к углу KFR. Однако при заданных углах четырёхугольника диагональ RF должна делить угол при R, и ∠FRT = 45°; тогда угол KRF остаётся не установленным без дополнительных данных о связи KF и RT (например, их параллельности).

Ответ: в треугольнике RFT углы равны 45°, 90° и 45°. Для нахождения всех углов треугольника KRF данных недостаточно.