12. Найти углы тупоугольного равнобедренного треугольника, если градусные меры двух из них относятся как 2: 5.

Решение:

В тупоугольном равнобедренном треугольнике один угол тупой, а два других — острые.

Рассмотрим два случая:

1. Тупой угол — больший из двух данных углов.
   Пусть градусные меры двух углов относятся как 2:5. Обозначим эти углы как \( 2x \) и \( 5x \). Так как угол \( 5x \) тупой, то \( 5x > 90^\circ \).
   Сумма углов равнобедренного треугольника равна \( 180^\circ \). Углы при основании равны. Если \( 5x \) — тупой угол, то \( 2x \) — угол при основании. Второй угол при основании также равен \( 2x \).
   \( 5x + 2x + 2x = 180^\circ \)
   \( 9x = 180^\circ \)
   \( x = 20^\circ \)
   Углы треугольника: \( 5x = 5 \cdot 20^\circ = 100^\circ \) (тупой); \( 2x = 2 \cdot 20^\circ = 40^\circ \) (острый); \( 2x = 40^\circ \) (острый).
   Проверка: \( 100^\circ + 40^\circ + 40^\circ = 180^\circ \). Тупой угол \( 100^\circ \), острые углы \( 40^\circ \). Отношение \( 40:100 = 2:5 \). Этот случай подходит.
2. Острый угол — больший из двух данных углов.
   Пусть градусные меры двух углов относятся как 2:5. Обозначим эти углы как \( 2x \) и \( 5x \). Так как угол \( 5x \) острый, то \( 5x < 90^\circ \).
   В равнобедренном треугольнике могут быть равные углы. Если \( 5x \) — угол при основании, то второй угол при основании тоже \( 5x \). Тогда тупой угол будет \( 180^\circ - 5x - 5x = 180^\circ - 10x \).
   \( 180^\circ - 10x > 90^\circ \)
   \( 90^\circ > 10x \)
   \( x < 9^\circ \)
   При этом один из углов равен \( 2x \). Это невозможно, так как в равнобедренном тупоугольном треугольнике два острых угла и один тупой. Если два угла равны \( 5x \), то третий равен \( 180^\circ - 10x \), который будет тупым. В этом случае отношение \( 5x : (180^\circ - 10x) \) должно быть 2:5 или 5:2. Если \( 5x : (180^\circ - 10x) = 2:5 \), то \( 25x = 2(180^\circ - 10x) \) \( 25x = 360^\circ - 20x \) \( 45x = 360^\circ \) \( x = 8^\circ \). Углы: \( 5x = 40^\circ \), \( 180^\circ - 10x = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ \). Отношение \( 40:100 = 2:5 \). Эти углы \( 5x \) и \( 180^\circ - 10x \) относятся как 2:5. Но в задании сказано, что двух углов относятся как 2:5. Если взять углы \( 40^\circ \) и \( 100^\circ \), то третий угол тоже \( 40^\circ \). Отношение \( 40:100 = 2:5 \). Этот случай подходит.
   Если \( 5x : (180^\circ - 10x) = 5:2 \), то \( 10x = 5(180^\circ - 10x) \) \( 10x = 900^\circ - 50x \) \( 60x = 900^\circ \) \( x = 15^\circ \). Углы: \( 5x = 75^\circ \), \( 180^\circ - 10x = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ \). Это остроугольный треугольник.

Ответ: 100°, 40°, 40°.