12. Окружность с центром О вписана в треугольник АВС. Радиус окружности равен половине расстояния ОА. Найдите величину угла А.

Решение:

• Центр вписанной в треугольник ABC является точкой пересечения его биссектрис.
• Поэтому луч АО (проведите его) делит угол A пополам. Обозначим точку пересечения луча АО с окружностью буквой T и проведём радиус OT (проведите). По свой-ству OT ⊥ AB.
• В прямоугольном треугольнике АОТ ка-тет ОТ равен половине гипотенузы АО (по условию). Следовательно, sin(∠BAO) = OT/AO = 1/2.
• Таким образом, ∠BAO = 30°.
• Поскольку АО является биссектрисой угла А, то ∠A = 2 * ∠BAO = 2 * 30° = 60°.

Ответ: 60°