12. Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 18, а ее боковые стороны равны 10. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Для нахождения площади трапеции используем формулу: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, а \( h \) — высота.

1. Основания трапеции: \( a = 6 \), \( b = 18 \).
2. Проведём высоты из вершин верхнего основания к нижнему. Эти высоты разделят нижнее основание на три отрезка. Средний отрезок равен верхнему основанию, то есть \( 6 \). Два боковых отрезка равны между собой, так как трапеция равнобедренная. Длина каждого такого отрезка равна \( \frac{18 - 6}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и одним из боковых отрезков нижнего основания. Гипотенуза равна боковой стороне трапеции (10), а один из катетов равен 6.
4. Найдем высоту \( h \) по теореме Пифагора: \( h^2 + 6^2 = 10^2 \)
5. \[ h^2 + 36 = 100 \]
6. \[ h^2 = 100 - 36 \]
7. \[ h^2 = 64 \]
8. \[ h = \sqrt{64} = 8 \]
9. Теперь найдём площадь трапеции:
10. \[ S = \frac{6 + 18}{2} \cdot 8 = \frac{24}{2} \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96 \]

Ответ: 96