12. Отрезок CH — высота равнобедренной трапеции ABCD. Прямая BH делит её диагональ AC на отрезки с длинами 3 и 5. Найдите отношение оснований трапеции. (Рис.)

Обозначим основания равнобедренной трапеции через \(a=AB\) и \(b=CD\), а их общую высоту через \(h\). Положение точки H относительно оснований зависит от того, на какую сторону трапеции опущена высота CH. В обоих случаях рассмотрим координаты, принимая основания параллельными.

Если \(AB\) — нижнее основание, положим \(A=(0,0), B=(a,0), D=((a-b)/2,h), C=((a+b)/2,h)\). Прямая BH пересекает AC в точке P. Из координатного подобия получается \(AP:PC=b:a\). Если CH опущена на продолжение основания, аналогичный расчёт даёт то же отношение с отрезками диагонали, считая от A: \(AP:PC=b:a\).

Следовательно, длины 3 и 5 дают отношение оснований \(CD:AB=3:5\), если отрезок длины 3 расположен у вершины A, либо \(CD:AB=5:3\), если длины 3 и 5 на диагонали расположены наоборот.

На изображении ссылка «(рис.)» есть, но сам чертёж не показан, поэтому нельзя определить, какой из двух отрезков (3 или 5) прилегает к вершине A. Чтобы однозначно выбрать отношение оснований, нужен рисунок или указание порядка отрезков на AC.