12. Постройте график функции: $y=\begin{cases}-x-1, & \text{если } x<-2,\\ 1, & \text{если } -2\le x\le 2,\\ x-1, & \text{если } x>2.\end{cases}$ а) Укажите значения аргумента $x$, при которых функция принимает положительные значения. б) Запишите формулу какой-нибудь линейной функции вида $y=kx+b$, графиком которой данная функция имеет две общие точки.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12. Постройте график функции: \(y=\begin{cases}-x-1, & \text{если } x<-2,\\ 1, & \text{если } -2\le x\le 2,\\ x-1, &…$ Фото задания

12. Постройте график функции: $y=\begin{cases}-x-1, & \text{если } x<-2,\\ 1, & \text{если } -2\le x\le 2,\\ x-1, & \text{если } x>2.\end{cases}$ а) Укажите значения аргумента $x$, при которых функция принимает положительные значения. б) Запишите формулу какой-нибудь линейной функции вида $y=kx+b$, графиком которой данная функция имеет две общие точки.

Accepted Answer

При $x<-2$ график задаётся формулой $y=-x-1$; при $-2\le x\le2$ — горизонтальным отрезком $y=1$; при $x>2$ — формулой $y=x-1$.

Граничные точки: при $x=-2$ значение равно 1, поэтому точка $(-2;1)$ принадлежит графику. При $x=2$ значение также равно 1, и точка $(2;1)$ принадлежит графику.

а) На левой части $-x-1>0$, то есть $x<-1$; с учётом области этой части получаем $x<-2$. На средней части функция равна 1, значит положительна при всех $-2\le x\le2$. На правой части $x-1>0$ для каждого $x>2$. Вместе это все действительные числа.

б) Возьмём прямую $y=0$. Она пересекает левый луч графика при $-x-1=0$, откуда $x=-1$, но эта точка не принадлежит области $x<-2$. Средний отрезок с ней не пересекается, а правый луч $y=x-1$ пересекает её при $x=1$, не принадлежащем области $x>2$. Поэтому удобнее взять, например, $y=2$: слева $-x-1=2$ даёт $x=-3$, допустимо; справа $x-1=2$ даёт $x=3$, допустимо; средний отрезок $y=1$ не пересекается с этой прямой. Имеются ровно две общие точки.

Ответ: а) все $x\in\mathbb R$; б) например, $y=2$.