12. Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 11, а одна из диагоналей ромба равна 44. Найдите углы ромба.

Обозначим половину второй диагонали через x. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому сторона ромба равна s = √(22² + x²).

Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: S = 44 · 2x / 2 = 44x. Расстояние от точки пересечения диагоналей до стороны — радиус вписанной окружности, поэтому S = 2s · 11.

Приравняем выражения площади: 44x = 22√(484 + x²). После деления на 22 и возведения в квадрат получаем 4x² = 484 + x², откуда x = 22/√3.

Половины диагоналей равны 22 и 22/√3. Диагональ ромба делит его угол пополам, поэтому тангенс половины острого угла равен (22/√3)/22 = 1/√3. Значит, половина острого угла равна 30°, а острый угол — 60°. Смежный с ним угол равен 180° − 60° = 120°.

Ответ: 60° и 120°.