12. Равнобедренные треугольники ADC и BCD имеют общее основание DC. Прямая AB пересекает отрезок CD в точке O. Докажите, что: а) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.

Так как △ADC равнобедренный с основанием DC, AD = AC. Так как △BCD равнобедренный с тем же основанием, BD = BC.

а) Рассмотрим △ADB и △ACB. У них AD = AC, BD = BC, а AB — общая сторона. Значит, треугольники равны по трём сторонам, поэтому соответствующие углы ∠ADB и ∠ACB равны.

б) Из AD = AC следует, что точка A равноудалена от D и C. Из BD = BC следует, что точка B также равноудалена от D и C. Следовательно, обе точки A и B лежат на серединном перпендикуляре к DC, поэтому прямая AB и есть этот серединный перпендикуляр. Точка O, где AB пересекает DC, — середина DC.

Ответ: а) ∠ADB = ∠ACB; б) DO = OC.