12. Реши систему уравнений { 1/5 x - 2y = -5, 1/10 x - 1/3 y = -1/2. Запиши ответ числами. ( )

Привет! Давай решим эту систему уравнений вместе.

У нас есть система:

• \[ \begin{cases} \frac{1}{5}x - 2y = -5 \\ \frac{1}{10}x - \frac{1}{3}y = -\frac{1}{2} \end{cases} \]

Шаг 1: Избавимся от дробей

• Первое уравнение: умножим все на 5, чтобы избавиться от знаменателя 5.
• \[ 5 \left( \frac{1}{5}x - 2y \right) = 5(-5) \]
• \[ x - 10y = -25 \]
• Второе уравнение: умножим все на 30 (наименьшее общее кратное для 10 и 3), чтобы избавиться от знаменателей 10 и 3.
• \[ 30 \left( \frac{1}{10}x - \frac{1}{3}y \right) = 30 \left(-\frac{1}{2}\right) \]
• \[ 3x - 10y = -15 \]

Теперь система выглядит так:

• \[ \begin{cases} x - 10y = -25 \\ 3x - 10y = -15 \end{cases} \]

Шаг 2: Решим систему методом вычитания

Заметим, что коэффициент при y в обоих уравнениях одинаковый (-10). Это значит, что мы можем вычесть одно уравнение из другого, чтобы исключить y.

• Вычтем первое уравнение из второго:
• \[ (3x - 10y) - (x - 10y) = -15 - (-25) \]
• \[ 3x - 10y - x + 10y = -15 + 25 \]
• \[ 2x = 10 \]
• Теперь найдем x:
• \[ x = \frac{10}{2} \]
• \[ x = 5 \]

Шаг 3: Найдем значение y

Подставим найденное значение x = 5 в любое из исходных (или упрощенных) уравнений. Возьмем первое упрощенное уравнение: x - 10y = -25.

• \[ 5 - 10y = -25 \]
• Перенесем 5 в правую часть:
• \[ -10y = -25 - 5 \]
• \[ -10y = -30 \]
• Теперь найдем y:
• \[ y = \frac{-30}{-10} \]
• \[ y = 3 \]

Шаг 4: Проверка

Подставим найденные значения x = 5 и y = 3 во второе упрощенное уравнение: 3x - 10y = -15.

• \[ 3(5) - 10(3) = 15 - 30 = -15 \]
• Равенство выполняется, значит, решение верное.

Ответ: (5; 3)