12. Решить уравнение: 7^{x+1}+3 · 7^x = 2^{x+5}+3 · 2^x

Решение:

1. Сгруппируем члены уравнения:
• \( 7^{x+1}+3 · 7^x = 7^x(7+3) = 10 · 7^x \)
• \( 2^{x+5}+3 · 2^x = 2^x(2^5+3) = 2^x(32+3) = 35 · 2^x \)
2. Перепишем уравнение:
• \( 10 · 7^x = 35 · 2^x \)
3. Разделим обе части на \( 2^x \) (так как \( 2^x \) всегда больше нуля):
• \( 10 · \frac{7^x}{2^x} = 35 \)
• \( 10 · \left(\frac{7}{2}\right)^x = 35 \)
4. Выделим показательную часть:
• \( \left(\frac{7}{2}\right)^x = \frac{35}{10} \)
• \( \left(\frac{7}{2}\right)^x = \frac{7}{2} \)
5. Поскольку основания равны, приравниваем показатели степени:
• \( x = 1 \)

Ответ: x = 1.