12) Решите систему уравнений { 3x-2y=7, 4y-6x=-14.

Привет! Давай разберемся с этой системой уравнений. Она выглядит немного запутанной, но на самом деле решается довольно просто. Лови пошаговое объяснение!

Дано:

• \[ \begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ 4y - 6x = -14 \end{cases} \]

Решение:

Смотри, у нас есть два уравнения. Мы можем сделать их проще, чтобы было удобнее работать. Давай начнем со второго уравнения:

\[ 4y - 6x = -14 \]

Заметил, что все числа здесь четные? Можно разделить всё уравнение на 2, чтобы получить:

\[ 2y - 3x = -7 \]

Теперь давай посмотрим на первое уравнение:

\[ 3x - 2y = 7 \]

Если мы сравним два уравнения:

• \[ 2y - 3x = -7 \]
• \[ 3x - 2y = 7 \]

Видно, что они очень похожи, только знаки у них противоположные! Давай умножим второе уравнение на -1:

\[ -1 \times (3x - 2y) = -1 \times 7 \]

Получаем:

\[ -3x + 2y = -7 \]

А это то же самое, что:

\[ 2y - 3x = -7 \]

Видишь? Оба уравнения получились абсолютно одинаковыми! Это значит, что система имеет бесконечно много решений. Любая пара чисел (x; y), которая удовлетворяет одному из этих уравнений, будет решением всей системы.

Как это записать?

Можно выразить одну переменную через другую. Например, из уравнения 3x - 2y = 7 выразим y:

1. -2y = 7 - 3x
2. 2y = 3x - 7
3. y = \(\frac{3x - 7}{2}\)

Значит, решением системы будет любая пара вида \(x; \frac{3x - 7}{2}\), где x — любое действительное число.

Проверка:

Давай возьмем какое-нибудь значение, например, x = 1:

y = \(\frac{3 \times 1 - 7}{2}\) = \(\frac{3 - 7}{2}\) = \(\frac{-4}{2}\) = -2

Проверим пару (1; -2) в исходной системе:

1. 3x - 2y = 3(1) - 2(-2) = 3 + 4 = 7 (Верно!)

2. 4y - 6x = 4(-2) - 6(1) = -8 - 6 = -14 (Верно!)

Всё сошлось!

Ответ: Система имеет бесконечно много решений. Решением является любая пара чисел вида \(x; \frac{3x - 7}{2}\), где x — любое действительное число.