12 Решите систему уравнений {3x+4y-11=0, (5x-2y-14=0.

Решение:

У нас есть система двух линейных уравнений:

1) \( 3x + 4y - 11 = 0 \)

2) \( 5x - 2y - 14 = 0 \)

Для решения этой системы воспользуемся методом подстановки или сложения. Метод сложения кажется удобнее, если умножить второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при \( y \) стали противоположными.

Шаг 1: Умножим второе уравнение на 2.

\( 2 | (5x - 2y - 14) = 2 | 0 \)

\( 10x - 4y - 28 = 0 \)

Теперь у нас есть новая система:

1) \( 3x + 4y - 11 = 0 \)

3) \( 10x - 4y - 28 = 0 \)

Шаг 2: Сложим уравнения (1) и (3).

\( (3x + 4y - 11) + (10x - 4y - 28) = 0 + 0 \)

\( 3x + 10x + 4y - 4y - 11 - 28 = 0 \)

\( 13x - 39 = 0 \)

Шаг 3: Найдем \( x \).

\( 13x = 39 \)

\( x = \frac{39}{13} \)

\( x = 3 \)

Шаг 4: Подставим найденное значение \( x = 3 \) в одно из исходных уравнений (например, в первое) для нахождения \( y \).

\( 3(3) + 4y - 11 = 0 \)

\( 9 + 4y - 11 = 0 \)

\( 4y - 2 = 0 \)

\( 4y = 2 \)

\( y = \frac{2}{4} \)

\( y = \frac{1}{2} \)

Шаг 5: Проверим найденные значения \( x = 3 \) и \( y = \frac{1}{2} \) во втором исходном уравнении.

\( 5(3) - 2(\frac{1}{2}) - 14 = 0 \)

\( 15 - 1 - 14 = 0 \)

\( 14 - 14 = 0 \)

\( 0 = 0 \)

Проверка прошла успешно. Значения \( x=3 \) и \( y=\frac{1}{2} \) являются решением системы.

Ответ: \( x = 3, y = \frac{1}{2} \).