12. Решите треугольник ABC, если BC=25 см, AB=20√2 см, ∠A=45°.

Обозначим стороны стандартно: \(a=BC=25\), \(c=AB=20\sqrt2\), \(A=45°\). По теореме косинусов для стороны \(a\):

\(25^2=b^2+(20\sqrt2)^2-2\cdot b\cdot20\sqrt2\cos45°\), поэтому \(625=b^2+800-40b\).

Получаем \(b^2-40b+175=0\), откуда \(b=5\) или \(b=35\). Значит, возможны два треугольника.

При \(b=5\): \(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=-0.6\), поэтому \(C\approx126.87°\), а \(B=180°-A-C\approx8.13°\).

При \(b=35\): \(\cos C=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=0.6\), поэтому \(C\approx53.13°\), а \(B=180°-A-C\approx81.87°\).

Ответ: два решения: \(AC=5\) см, \(B\approx8.13°\), \(C\approx126.87°\); или \(AC=35\) см, \(B\approx81.87°\), \(C\approx53.13°\).