12 Решите уравнение x^4 = (2x-3)^2

Решение:

Данное уравнение является биквадратным, но имеет вид \( x^4 = (2x-3)^2 \). Возьмём квадратный корень из обеих частей уравнения:

\( \sqrt{x^4} = \sqrt{(2x-3)^2} \)

\( x^2 = \pm (2x-3) \)

Рассмотрим два случая:

1. \( x^2 = 2x-3 \)
• Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 - 2x + 3 = 0 \)
• Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 · 1 · 3 = 4 - 12 = -8 \)
• Так как \( D < 0 \), это уравнение не имеет действительных корней.
2. \( x^2 = -(2x-3) \)
• Раскроем скобки: \( x^2 = -2x + 3 \)
• Перенесём все члены в одну сторону: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \)
• Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16 \)
• Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два действительных корня.
• Найдём корни по формуле:
• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 · 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 · 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Ответ: x₁ = 1, x₂ = -3.