12. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 15/17. Диаметр описанной около него окружности равен 17. Найдите площадь прямоугольника.

Краткая запись:

• Синус угла (\( \alpha \)) между стороной и диагональю: \( \sin \alpha = \frac{15}{17} \)
• Диаметр описанной окружности (d): 17
• Найти: Площадь прямоугольника (S) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим стороны прямоугольника. Диагональ прямоугольника (d) равна диаметру описанной окружности, т.е. \( d = 17 \). Пусть стороны прямоугольника равны \( a \) и \( b \). Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Рассмотрим один из таких треугольников. Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( a \) и диагональю \( d \). Тогда \( \sin \alpha = \frac{b}{d} \) и \( \cos \alpha = \frac{a}{d} \).
2. Шаг 2: Находим неизвестную сторону. По условию \( \sin \alpha = \frac{15}{17} \), и \( d = 17 \). Следовательно, \( \frac{b}{17} = \frac{15}{17} \), откуда \( b = 15 \).
3. Шаг 3: Находим вторую сторону. Используя основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \), найдем \( \cos \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{15}{17})^2 = 1 - \frac{225}{289} = \frac{289 - 225}{289} = \frac{64}{289} \). Тогда \( \cos \alpha = \sqrt{\frac{64}{289}} = \frac{8}{17} \) (так как угол в прямоугольном треугольнике острый, косинус положителен).
4. Шаг 4: Так как \( \cos \alpha = \frac{a}{d} \), то \( \frac{a}{17} = \frac{8}{17} \), откуда \( a = 8 \).
5. Шаг 5: Вычисляем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника равна произведению его сторон: \( S = a \cdot b \).
   \( S = 8 \cdot 15 = 120 \).

Ответ: 120