12. Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 15/17. Диаметр описанной около него окружности равен 17. Найдите площадь прямоугольника.

Задание 12

Дано:

• Прямоугольник.
• Синус угла между стороной и диагональю \( \sin{\alpha} = \frac{15}{17} \).
• Диаметр описанной окружности \( d = 17 \).

Найти: площадь прямоугольника \( S \).

Решение:

Пусть \( \alpha \) — угол между стороной \( b \) и диагональю \( d \). Тогда противолежащий катет равен стороне \( a \).

Используем определение синуса в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и диагональю:

\[ \sin{\alpha} = \frac{a}{d} \]

Подставим известные значения:

\[ \frac{15}{17} = \frac{a}{17} \]

Отсюда находим сторону \( a \):

\[ a = 15 \]

Диагональ прямоугольника является диаметром описанной окружности. Воспользуемся теоремой Пифагора для нахождения другой стороны \( b \):

\[ a^2 + b^2 = d^2 \]

\[ 15^2 + b^2 = 17^2 \]

\[ 225 + b^2 = 289 \]

\[ b^2 = 289 - 225 = 64 \]

\[ b = \sqrt{64} = 8 \]

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ S = a \cdot b = 15 \cdot 8 = 120 \]

Ответ: площадь прямоугольника равна 120.