12*. Сумма расстояний от точки на основании равнобедренного треугольника до боковых сторон не зависит от положения этой точки.

Пусть в равнобедренном треугольнике основание — AB, боковые стороны — AC и BC, а P — произвольная точка основания AB. Обозначим расстояния от P до AC и BC через d₁ и d₂.

1. Треугольники ACP и BCP вместе составляют треугольник ABC, поэтому их площади в сумме равны площади ABC.
2. Площади можно выразить через боковые стороны и соответствующие высоты: [ACP] = AC · d₁ / 2, [BCP] = BC · d₂ / 2.
3. Так как треугольник равнобедренный, AC = BC = l. Следовательно, [ABC] = l(d₁ + d₂)/2, откуда d₁ + d₂ = 2[ABC]/l.
4. В правой части стоят только площадь исходного треугольника и длина его боковой стороны — они постоянны и не зависят от положения P.

Ответ: сумма расстояний от точки на основании до боковых сторон не зависит от её положения.