12. Сумма цифр трёхзначного числа А делится на 13. Сумма цифр числа А+5 также делится на 13. Найдите такое число А.

Решение:

Пусть число \( A \) состоит из цифр \( a, b, c \), то есть \( A = 100a + 10b + c \). По условию, \( a+b+c = 13k \) для некоторого целого \( k \).

Рассмотрим число \( A+5 \).

• Случай 1: Цифра единиц \( c \) не равна 9.

Тогда \( A+5 = 100a + 10b + (c+5) \). Сумма цифр числа \( A+5 \) будет \( a+b+(c+5) \).

По условию, \( a+b+c+5 = 13m \) для некоторого целого \( m \).

Мы имеем два уравнения:

\( a+b+c = 13k \)

\( a+b+c+5 = 13m \)

Подставляя первое во второе, получаем: \( 13k + 5 = 13m \). Это невозможно, так как \( 5 \) не делится на \( 13 \).

• Случай 2: Цифра единиц \( c \) равна 9.

Пусть \( A = 100a + 10b + 9 \).

Сумма цифр \( A \) равна \( a+b+9 = 13k \).

Рассмотрим \( A+5 \). Так как \( c=9 \), то \( A+5 = 100a + 10b + 9 + 5 = 100a + 10b + 14 \).

При сложении \( A+5 \) произойдет перенос десятков.

\( A+5 \) будет иметь вид \( 100a + 10(b+1) + 4 \) (если \( b \) не 9).

Сумма цифр \( A+5 \) будет \( a + (b+1) + 4 = a+b+5 \).

По условию, \( a+b+5 = 13m \).

У нас есть система уравнений:

\( a+b+9 = 13k \) (1)

\( a+b+5 = 13m \) (2)

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

\( (a+b+9) - (a+b+5) = 13k - 13m \)

\( 4 = 13(k-m) \)

Это уравнение не имеет целочисленных решений для \( k \) и \( m \), так как 4 не делится на 13.

Пересмотрим Случай 2: Случай, когда при сложении \( A+5 \) происходит перенос десятков и сотен.

Пусть \( A = 100a + 10b + c \). Сумма цифр \( S(A) = a+b+c \).

Число \( A+5 \).

Если \( c \neq 9 \), то \( S(A+5) = a+b+c+5 \). \( S(A) = 13k \) и \( S(A+5) = 13m \). \( 13k + 5 = 13m \), что невозможно.

Если \( c = 9 \), то \( A+5 \) заканчивается на 4, и происходит перенос единицы в разряд десятков.

\( A = 100a + 10b + 9 \). \( S(A) = a+b+9 \). \( a+b+9 = 13k \).

\( A+5 = 100a + 10b + 14 \). \( A+5 \) имеет вид \( 100a + 10(b+1) + 4 \) (если \( b \neq 9 \)).

\( S(A+5) = a + (b+1) + 4 = a+b+5 \).

\( a+b+5 = 13m \).

\( (a+b+9) - (a+b+5) = 13k - 13m \) => \( 4 = 13(k-m) \), невозможно.

Рассмотрим случай, когда \( b=9 \) и \( c=9 \).

\( A = 100a + 90 + 9 \). \( S(A) = a+9+9 = a+18 \).

\( a+18 = 13k \).

\( A+5 = 100a + 90 + 9 + 5 = 100a + 104 \).

\( A+5 = 100(a+1) + 0 + 4 \) (если \( a \neq 9 \)).

\( S(A+5) = (a+1) + 0 + 4 = a+5 \).

\( a+5 = 13m \).

Имеем систему:

\( a+18 = 13k \) (1)

\( a+5 = 13m \) (2)

Вычтем (2) из (1):

\( (a+18) - (a+5) = 13k - 13m \)

\( 13 = 13(k-m) \)

\( k-m = 1 \).

Из \( a+5 = 13m \), так как \( A \) — трёхзначное число, \( a \) может быть от 1 до 9.

Если \( a=1 \), \( 1+5 = 6 \), не делится на 13.

Если \( a=2 \), \( 2+5 = 7 \), не делится на 13.

Если \( a=3 \), \( 3+5 = 8 \), не делится на 13.

Если \( a=4 \), \( 4+5 = 9 \), не делится на 13.

Если \( a=5 \), \( 5+5 = 10 \), не делится на 13.

Если \( a=6 \), \( 6+5 = 11 \), не делится на 13.

Если \( a=7 \), \( 7+5 = 12 \), не делится на 13.

Если \( a=8 \), \( 8+5 = 13 \). Тогда \( m=1 \).

Проверим \( a=8 \) в уравнении (1): \( 8+18 = 26 \). \( 26 = 13k \) => \( k=2 \).

\( k-m = 2-1=1 \), что верно.

Значит, \( a=8 \), \( b=9 \), \( c=9 \). Число \( A = 899 \).

Проверим:

Сумма цифр \( A = 8+9+9 = 26 \). \( 26 \) делится на 13 (26 = 2 * 13).

\( A+5 = 899+5 = 904 \). Сумма цифр \( 9+0+4 = 13 \). \( 13 \) делится на 13.

Ответ: \( 899 \).