12. Тамара кладет свои кубики на весы. (Кубики разного цвета имеют разный вес). Сначала она кладет красный и голубой кубик с одной стороны, а зеленый и желтый - с другой стороны. Весы находятся в равновесии. Затем Тамара меняет местами голубой и зеленый, и тогда желтый и голубой вместе становятся тяжелее красного и зеленого. Окончательно, она установила, что зеленый и голубой вместе тяжелее, чем красный и желтый. Какой цвет имеет самый тяжелый кубик?

Решение:

Будем обозначать вес кубиков первыми буквами их цветов: К (красный), Г (голубой), З (зеленый), Ж (желтый).

1. Первое условие: Красный и голубой кубик уравновешивают зеленый и желтый. Это можно записать как: \( К + Г = З + Ж \)
2. Второе условие: Тамара меняет местами голубой и зеленый кубики. Теперь зеленый и желтый вместе тяжелее красного и голубого. Это значит, что после перестановки вес стал неравным, и сторона с желтым и голубым кубиками оказалась тяжелее. Однако, в условии сказано «желтый и голубой вместе становятся тяжелее красного и зеленого». Это можно записать как: \( Ж + Г > К + З \).
3. Третье условие: Зеленый и голубой вместе тяжелее, чем красный и желтый. \( З + Г > К + Ж \).

Из первого условия мы знаем, что \( К + Г = З + Ж \).

Сравним второе и третье условия:

\( Ж + Г > К + З \)

\( З + Г > К + Ж \)

Добавим к обеим частям первого неравенства \( З \), а ко второй части второго неравенства \( Г \):

\( Ж + Г + З > К + З + З \)

\( З + Г + Г > К + Ж + Г \)

Теперь рассмотрим, что означает «желтый и голубой вместе становятся тяжелее красного и зеленого». Это значит, что если раньше весы были в равновесии, то после перестановки голубого и зеленого, сторона с желтым и голубым стала перевешивать. Это означает, что голубой кубик стал тяжелее зеленого, или зеленый стал легче голубого, при условии, что красный и желтый остались на своих местах, но поменяли их местами с голубым и зеленым. Изначально \( К + Г = З + Ж \). После перестановки, когда голубой и зеленый поменялись местами, на одной стороне оказались З и Ж, а на другой К и Г. Если \( Ж + Г > К + З \), то это означает, что \( Г \) тяжелее \( З \) при условии, что \( К=Ж \) и \( З=Г \) по весу, что противоречит условию, что кубики разного цвета имеют разный вес.

Рассмотрим еще раз:

1. \( К + Г = З + Ж \)
2. \( Ж + Г > К + З \)
3. \( З + Г > К + Ж \)

Из (1) следует, что \( К - З = Ж - Г \).

Из (2) следует, что \( Ж - З > К - Г \).

Из (3) следует, что \( З - Ж > К - Г \).

Из (2) вычитаем (3): \( (Ж + Г) - (З + Г) > (К + З) - (К + Ж) \) → \( Ж - З > З - Ж \) → \( 2Ж > 2З \) → \( Ж > З \).

Поскольку \( Ж > З \), то чтобы равенство \( К + Г = З + Ж \) выполнялось, \( Г \) должен быть тяжелее \( К \) (чтобы компенсировать разницу в весе между \( Ж \) и \( З \)).

Следовательно, \( Ж \) (желтый) и \( Г \) (голубой) являются самыми тяжелыми.

Рассмотрим второе неравенство \( Ж + Г > К + З \). Так как \( Ж > З \), то чтобы это неравенство выполнялось, \( Г \) должен быть тяжелее \( К \).

В третьем неравенстве \( З + Г > К + Ж \). Так как \( Ж > З \), то чтобы это неравенство выполнялось, \( Г \) должен быть тяжелее \( К \).

Если \( Ж \) — самый тяжелый, то \( Ж > Г \) и \( Ж > З \) и \( Ж > К \).

Если \( Г \) — самый тяжелый, то \( Г > Ж \) и \( Г > З \) и \( Г > К \).

Из \( Ж > З \) и \( З + Г > К + Ж \) следует, что \( Г \) должен быть заметно тяжелее \( К \).

Рассмотрим возможные варианты:

Пусть \( К=1, З=2, Ж=3 \). Тогда \( 1 + Г = 2 + 3 \) → \( Г = 4 \). Это противоречит \( Ж > З \).

Пусть \( К=1, Г=4, З=2, Ж=3 \). Тогда \( 1 + 4 = 2 + 3 \) → \( 5 = 5 \). Проверим другие условия:

\( Ж + Г > К + З \) → \( 3 + 4 > 1 + 2 \) → \( 7 > 3 \) (Верно).

\( З + Г > К + Ж \) → \( 2 + 4 > 1 + 3 \) → \( 6 > 4 \) (Верно).

В этом случае, самый тяжелый кубик — голубой (вес 4).

Пусть \( К=1, Г=3, З=2, Ж=4 \). Тогда \( 1 + 3 = 2 + 4 \) → \( 4 = 6 \) (Неверно).

Пусть \( К=2, Г=4, З=1, Ж=3 \). Тогда \( 2 + 4 = 1 + 3 \) → \( 6 = 4 \) (Неверно).

Пусть \( К=1, Г=5, З=2, Ж=4 \). Тогда \( 1 + 5 = 2 + 4 \) → \( 6 = 6 \). Проверим другие условия:

\( Ж + Г > К + З \) → \( 4 + 5 > 1 + 2 \) → \( 9 > 3 \) (Верно).

\( З + Г > К + Ж \) → \( 2 + 5 > 1 + 4 \) → \( 7 > 5 \) (Верно).

В этом случае, самый тяжелый кубик — голубой (вес 5).

Пусть \( К=1, Г=4, З=3, Ж=2 \). Тогда \( 1 + 4 = 3 + 2 \) → \( 5 = 5 \). Проверим другие условия:

\( Ж + Г > К + З \) → \( 2 + 4 > 1 + 3 \) → \( 6 > 4 \) (Верно).

\( З + Г > К + Ж \) → \( 3 + 4 > 1 + 2 \) → \( 7 > 3 \) (Верно).

В этом случае, самый тяжелый кубик — голубой (вес 4).

Всегда, когда \( Ж > З \) и \( Г \) компенсирует эту разницу (т.е. \( Г = (З+Ж) - К \)), мы видим, что \( Г \) является самым тяжелым.

Ответ: Голубой.