§ 12. Текстовые задачи повышенного уровня сложности 47. Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправляются два тракториста. Проехав некоторую часть пути, первый тракторист сделал остановку на 45 минут, а потом продолжил движение до встречи со вторым трактористом. Расстояние между городами составляет 120 км, скорость первого тракториста равна 32 км/ч, скорость второго - 40 км/ч. Определите расстояние от города (в км), из которого выехал второй тракторист, до места встречи. 163

Решение:

Обозначим:

• \(S\) — расстояние между городами (120 км).
• \(v_1\) — скорость первого тракториста (32 км/ч).
• \(v_2\) — скорость второго тракториста (40 км/ч).
• \(t_{ост}\) — время остановки первого тракториста (45 минут).
• \(t\) — время в пути до встречи.
• \(S_2\) — расстояние, которое проехал второй тракторист до места встречи.

Сначала переведём время остановки в часы:

\[t_{ост} = 45 \text{ мин} = \frac{45}{60} \text{ ч} = 0.75 \text{ ч}\]

Путь, пройденный первым трактористом до остановки, и путь, пройденный им после остановки, в сумме составят его общее время движения, умноженное на его скорость. Однако, нам проще будет учитывать время движения второго тракториста, так как он не останавливался. Пусть \(t\) — время, через которое трактористы встретятся, считая с момента их отправления.

За время \(t\) второй тракторист проедет расстояние:

\[S_2 = v_2 \cdot t = 40t\]

Первый тракторист за это же время \(t\) проедет расстояние:

\[S_1 = v_1 \cdot (t - t_{ост}) = 32(t - 0.75)\]

Сумма расстояний, пройденных обоими трактористами, равна расстоянию между городами:

\[S_1 + S_2 = S\]\[32(t - 0.75) + 40t = 120\]

Решим уравнение относительно \(t\):

\[32t - 24 + 40t = 120\]\[72t = 120 + 24\]\[72t = 144\]\[t = \frac{144}{72} = 2 \text{ часа}\]

Теперь найдём расстояние, которое проехал второй тракторист до места встречи:

\[S_2 = v_2 \cdot t = 40 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 80 \text{ км}\]

Ответ: 80 км.