12. Тип 10 № 9 Найдите значение выражения (4 - y)² - y(y + 1) при y = - 1/9.

Решение:

Подставим значение \( y = -\frac{1}{9} \) в выражение \( (4 - y)^2 - y(y + 1) \).

1. Сначала вычислим \( 4 - y \):
   \( 4 - (-\frac{1}{9}) = 4 + \frac{1}{9} = \frac{36}{9} + \frac{1}{9} = \frac{37}{9} \)


2. Возведем результат в квадрат:
   \( (\frac{37}{9})^2 = \frac{37^2}{9^2} = \frac{1369}{81} \)


3. Теперь вычислим \( y(y + 1) \):
   \( y + 1 = -\frac{1}{9} + 1 = -\frac{1}{9} + \frac{9}{9} = \frac{8}{9} \)
   \( y(y + 1) = (-\frac{1}{9}) \times (\frac{8}{9}) = -\frac{8}{81} \)


4. Теперь вычтем второе значение из первого:
   \( \frac{1369}{81} - (-\frac{8}{81}) = \frac{1369}{81} + \frac{8}{81} = \frac{1369 + 8}{81} = \frac{1377}{81} \)


5. Упростим полученную дробь. Проверим, делится ли 1377 на 81. Сумма цифр 1+3+7+7 = 18, делится на 9. 8+1 = 9, делится на 9. Значит, оба числа делятся на 9. \( 1377 \div 9 = 153 \), \( 81 \div 9 = 9 \). Получаем \( \frac{153}{9} \). \( 153 \div 9 = 17 \).

Альтернативный способ: сначала раскроем скобки в выражении.

\( (4 - y)^2 - y(y + 1) = (16 - 8y + y^2) - (y^2 + y) \)
\( = 16 - 8y + y^2 - y^2 - y \)
\( = 16 - 9y \)

Теперь подставим \( y = -\frac{1}{9} \):

\( 16 - 9(-\frac{1}{9}) = 16 - (-1) = 16 + 1 = 17 \)

Ответ: 17.