12. Тип 12 № 507908 i Найдите наименьшее значение функции y = 7ˣ²⁻²ˣ⁺³.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим показатель степени как отдельную функцию: \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \). Эта функция является квадратичной и представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх.
2. Шаг 2: Найдем вершину параболы, которая соответствует минимальному значению функции \( f(x) \). Координата x вершины находится по формуле: \( x_v = -b / (2a) \), где \( a=1 \) и \( b=-2 \) из \( f(x) \).
   \( x_v = -(-2) / (2 · 1) = 2 / 2 = 1 \).
3. Шаг 3: Вычислим минимальное значение показателя степени, подставив \( x_v = 1 \) в \( f(x) \):
   \( f(1) = 1^2 - 2 · 1 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2 \).
4. Шаг 4: Теперь найдем наименьшее значение исходной функции \( y = 7^{f(x)} \). Так как основание степени \( 7 > 1 \), функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функции \( y \) будет достигаться при минимальном значении показателя степени.
   \( y_{min} = 7^{f(1)} = 7^2 = 49 \).

Ответ: 49