12. Укажите минимальное значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом.

Петя не может выиграть за один ход, если оба его возможных результата меньше 55: S + 1 < 55 и 3S < 55. Значит, S ≤ 18.

Чтобы Ваня после любого хода Пети мог выиграть за один ход, оба результата хода Пети должны быть не меньше 19: из любого числа от 19 до 54 можно получить не менее 55 умножением на 3 или прибавлением 1 при числе 54. Поэтому нужны условия S + 1 ≥ 19 и 3S ≥ 19. Наименьшее подходящее значение — S = 18.

Проверка: при S = 18 Петя может получить 19 или 54; Ваня выигрывает соответственно умножением на 3 или прибавлением 1. Ответ: 18.