12. Упростите выражение: \( \frac{8}{a-1} - \frac{15}{(a-1)^2} : \frac{15}{a^2-1} - \frac{3a+3}{a-1} \)

Решение:

Упростим выражение:

\( \frac{8}{a-1} - \frac{15}{(a-1)^2} : \frac{15}{a^2-1} - \frac{3a+3}{a-1} \)

Сначала выполним деление. При делении дробь \( \frac{15}{a^2-1} \) переворачивается:

\( \frac{15}{(a-1)^2} : \frac{15}{a^2-1} = \frac{15}{(a-1)^2} \cdot \frac{a^2-1}{15} \)

Разложим \( a^2-1 \) как разность квадратов: \( a^2-1 = (a-1)(a+1) \). Сократим 15:

\( \frac{1}{(a-1)^2} \cdot \frac{(a-1)(a+1)}{1} = \frac{a+1}{(a-1)^2} \cdot \frac{a-1}{a-1} = \frac{a+1}{(a-1)^2} \)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\( \frac{8}{a-1} - \frac{a+1}{(a-1)^2} - \frac{3a+3}{a-1} \)

Приведем все дроби к общему знаменателю \( (a-1)^2 \). Умножим числитель и знаменатель первой и третьей дробей на \( (a-1) \):

\( \frac{8(a-1)}{(a-1)^2} - \frac{a+1}{(a-1)^2} - \frac{(3a+3)(a-1)}{(a-1)^2} \)

Раскроем скобки в числителях:

\( 8(a-1) = 8a - 8 \)

\( (3a+3)(a-1) = 3a^2 - 3a + 3a - 3 = 3a^2 - 3 \)

Теперь соберем все в одну дробь:

\( \frac{8a - 8 - (a+1) - (3a^2 - 3)}{(a-1)^2} \)

Раскроем скобки и упростим числитель:

\( 8a - 8 - a - 1 - 3a^2 + 3 = -3a^2 + 7a - 6 \)

Таким образом, упрощенное выражение:

\( \frac{-3a^2 + 7a - 6}{(a-1)^2} \)

Ответ: \(\frac{-3a^2 + 7a - 6}{(a-1)^2}\).