12. В двух ящиках было 180 яблок. Если из первого переложить во второй 30 яблок, то в первом ящике окажется в 3 раза меньше, чем во втором. Сколько яблок было в каждом ящике изначально?

Решение:

1. Пусть \( x \) — количество яблок в первом ящике, а \( y \) — во втором.
2. По условию, \( x + y = 180 \).
3. После перекладывания 30 яблок из первого ящика во второй:
   • В первом ящике стало: \( x - 30 \) яблок.
   • Во втором ящике стало: \( y + 30 \) яблок.
4. По условию, \( x - 30 = \frac{1}{3}(y + 30) \).
5. Умножим обе части на 3: \( 3(x - 30) = y + 30 \)
6. Раскроем скобки: \( 3x - 90 = y + 30 \)
7. Выразим \( y \) через \( x \): \( y = 3x - 120 \).
8. Подставим это выражение в первое уравнение: \( x + (3x - 120) = 180 \)
9. Упростим: \( 4x - 120 = 180 \)
10. Решим для \( x \): \( 4x = 300 \), \( x = 75 \) яблок.
11. Найдем \( y \): \( y = 180 - 75 = 105 \) яблок.

Ответ: Изначально в первом ящике было 75 яблок, во втором — 105 яблок.