12. В окружности с центром О проведены диаметр АВ и хорда АС. Найдите $$\angle ABC$$, если $$\angle ACO = 52^{\circ}$$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $$\triangle AOC$$. $$OA$$ и $$OC$$ являются радиусами окружности, поэтому $$\triangle AOC$$ — равнобедренный.

Следовательно, углы при основании равны: $$\angle OAC = \angle OCA = 52^{\circ}$$.

В треугольнике $$\triangle AOC$$ сумма углов равна $$180^{\circ}$$. Найдем $$\angle AOC$$:

$$\angle AOC = 180^{\circ} - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^{\circ} - (52^{\circ} + 52^{\circ}) = 180^{\circ} - 104^{\circ} = 76^{\circ}$$.

Угол $$\angle ABC$$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $$AC$$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, равен $$\angle AOC$$.

Вписанный угол равен половине центрального угла:

$$\angle ABC = \frac{1}{2} \angle AOC$$

$$\angle ABC = \frac{1}{2} \times 76^{\circ}$$

$$\angle ABC = 38^{\circ}$$

Ответ: 38^{\circ}