12. В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны AB = BC = 10, медиана BM = √51. Найдите cos ∠BAC.

Решение:

В равнобедренном треугольнике \(ABC\) с боковыми сторонами \(AB = BC = 10\) и медианой \(BM = \sqrt{51}\), проведённой к основанию \(AC\).

Медиана \(BM\) в равнобедренном треугольнике является также высотой и биссектрисой. Значит, \(BM \perp AC\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AMB\). По теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AM^2 + BM^2 \]\[ 10^2 = AM^2 + (\sqrt{51})^2 \]\[ 100 = AM^2 + 51 \]\[ AM^2 = 100 - 51 \]\[ AM^2 = 49 \]\[ AM = \sqrt{49} = 7 \]

Так как \(BM\) — медиана, то \(AC = 2 · AM = 2 · 7 = 14\).

Теперь найдём косинус угла \(BAC\) в прямоугольном треугольнике \(AMB\):

\[ \cos(\angle BAC) = \frac{AM}{AB} \]\[ \cos(\angle BAC) = \frac{7}{10} \]

Ответ: \( \cos(\angle BAC) = \frac{7}{10} \).