№ 12. В равнобедренной трапеции ABCD (AB = CD, BC ∥ AD) диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Угол между BC и BD равен 31°, угол между AB и AC равен 39°. Найти ∠D и ∠C.

Так как трапеция равнобедренная, её ось симметрии меняет местами A и D, B и C, а диагональ AC — диагональ BD. Поэтому угол между AB и AC равен углу между CD и DB: ∠D = 39°.

По той же симметрии угол между BC и BD равен углу между BC и CA, то есть ∠BCA = 31°. В треугольнике ABC угол при A равен 39°, поэтому угол ABC равен 180° − 39° − 31° = 110°. В равнобедренной трапеции углы при верхнем основании равны, следовательно, ∠C = 110°.

Ответ: ∠D = 39°, ∠C = 110°.