12. В школьном буфете одна чашка чая, два пирожка и три конфеты стоят 50 руб., а три чашки чая, два пирожка и одна конфета – 30 руб. Сколько рублей заплатит мальчик в школьном буфете за покупку одной чашки чая, одного пирожка и одной конфеты? Запиши решение и ответ.

Решение:

Пусть \(ч\) — цена чашки чая, \(п\) — цена пирожка, \(к\) — цена конфеты.

По условию задачи имеем два уравнения:

1) \( ч + 2п + 3к = 50 \)

2) \( 3ч + 2п + к = 30 \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (ч + 2п + 3к) - (3ч + 2п + к) = 50 - 30 \)

\( ч + 2п + 3к - 3ч - 2п - к = 20 \)

\( -2ч + 2к = 20 \)

Разделим обе части на 2:

\( -ч + к = 10 \)

\( к = 10 + ч \)

Теперь найдем, сколько стоит одна чашка чая, один пирожок и одна конфета. Для этого вычтем из первого уравнения второе, умноженное на 3:

\( 3 \times (3ч + 2п + к) = 3 \times 30 \)

\( 9ч + 6п + 3к = 90 \)

\( (9ч + 6п + 3к) - (ч + 2п + 3к) = 90 - 50 \)

\( 9ч + 6п + 3к - ч - 2п - 3к = 40 \)

\( 8ч + 4п = 40 \)

Разделим обе части на 4:

\( 2ч + п = 10 \)

\( п = 10 - 2ч \)

Теперь мы знаем, что \(п = 10 - 2ч\) и \(к = 10 + ч\). Подставим эти значения в первое уравнение:

\( ч + 2(10 - 2ч) + 3(10 + ч) = 50 \)

\( ч + 20 - 4ч + 30 + 3ч = 50 \)

\( (ч - 4ч + 3ч) + (20 + 30) = 50 \)

\( 0ч + 50 = 50 \)

\( 50 = 50 \)

Это означает, что система имеет бесконечное множество решений, но нам нужно найти стоимость одной чашки чая, одного пирожка и одной конфеты. Заметим, что если мы вычтем первое уравнение из второго, то получим:

\( (3ч + 2п + к) - (ч + 2п + 3к) = 30 - 50 \)

\( 2ч - 2к = -20 \)

\( ч - к = -10 \)

\( ч = к - 10 \)

Теперь, если мы сложим первое и второе уравнение, а затем разделим на 4, то получим:

\( (ч + 2п + 3к) + (3ч + 2п + к) = 50 + 30 \)

\( 4ч + 4п + 4к = 80 \)

\( ч + п + к = 20 \)

Стоимость одной чашки чая, одного пирожка и одной конфеты составляет 20 рублей.

Ответ: 20 руб.