12. В трапеции ABCD известно, что AD = 3, BC = 2, а её площадь равна 30. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, а \( h \) — высота.

В данной задаче основания трапеции — это \( AD \) и \( BC \). Из условия известно:

• \( AD = 3 \)
• \( BC = 2 \)
• \( S_{ABCD} = 30 \)

Подставим известные значения в формулу площади трапеции:

\[ 30 = \frac{3+2}{2} \cdot h \]

\[ 30 = \frac{5}{2} \cdot h \]

Чтобы найти высоту \( h \), выразим её из уравнения:

\[ h = \frac{30 \cdot 2}{5} = \frac{60}{5} = 12 \]

Теперь, когда мы знаем высоту трапеции, мы можем найти площадь треугольника \( ABC \). Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S_{\triangle} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \).

В данном случае, основанием треугольника \( ABC \) является сторона \( BC \), а высота треугольника, проведенная к этому основанию, равна высоте трапеции \( h \).

\( S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h \)

Подставим значения:

\[ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 12 = 1 \cdot 12 = 12 \]

Ответ: Площадь треугольника АВС равна 12.