12. В треугольнике ABC точка D лежит на отрезке AC. По рисунку AD = BD = DC, угол A равен 30°. Найдите углы треугольника ABC.

В треугольнике ABD равны стороны \(AD\) и \(BD\), значит, он равнобедренный. Поэтому равны углы при основании:

\(\angle BAD=\angle ABD=30^\circ\).

Тогда:

\(\angle ADB=180^\circ-30^\circ-30^\circ=120^\circ\).

Так как точки \(A,D,C\) лежат на одной прямой, смежный угол:

\(\angle BDC=180^\circ-120^\circ=60^\circ\).

В треугольнике BDC равны стороны \(BD\) и \(DC\), поэтому равны углы при основании:

\(\angle DBC=\angle BCD=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ\).

Следовательно:

\(\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC=30^\circ+60^\circ=90^\circ\),

\(\angle ACB=\angle BCD=60^\circ\).

Ответ: \(\angle A=30^\circ\), \(\angle B=90^\circ\), \(\angle C=60^\circ\).