12. В треугольнике АВС АС = BC, AH — высота, AB = 7, tg BAC = \(\frac{33}{4\sqrt{33}}\). Найдите BH.

Решение:

Так как \( AC = BC \), треугольник ABC — равнобедренный.

AH — высота, значит \( AH ⊥ BC \).

В прямоугольном треугольнике AHB:

\( ∠ AHB = 90^\circ \).

\( ∠ ABH = ∠ ABC \).

Из условия \( AC = BC \) следует, что \( ∠ BAC = ∠ ABC \). Пусть \( ∠ BAC = α \).

Тогда \( ∠ ABH = α \).

В прямоугольном треугольнике AHB:

\( \tan(∠ ABH) = \frac{AH}{BH} \)

\( \tan(α) = \frac{AH}{BH} \).

Нам дано \( \tan(∠ BAC) = \frac{33}{4√33} \).

Значит, \( \frac{AH}{BH} = \frac{33}{4√33} \).

В прямоугольном треугольнике AHB:

\( AH^2 + BH^2 = AB^2 \)

\( AB = 7 \), значит \( AB^2 = 49 \).

\( AH^2 + BH^2 = 49 \).

Из \( \frac{AH}{BH} = \frac{33}{4√33} \) => \( AH = \frac{33}{4√33} BH \).

Подставляем в уравнение \( AH^2 + BH^2 = 49 \):

\( \big(\frac{33}{4√33} BH\big)^2 + BH^2 = 49 \)

\( \frac{33^2}{(4√33)^2} BH^2 + BH^2 = 49 \)

\( \frac{1089}{16 \times 33} BH^2 + BH^2 = 49 \)

\( \frac{1089}{528} BH^2 + BH^2 = 49 \)

\( \frac{33}{16} BH^2 + BH^2 = 49 \)

\( BH^2 \big(\frac{33}{16} + 1\big) = 49 \)

\( BH^2 \big(\frac{33+16}{16}\big) = 49 \)

\( BH^2 \frac{49}{16} = 49 \)

\( BH^2 = 16 \)

\( BH = 4 \).

Ответ: BH = 4