Контрольные задания
Вопрос:

12. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС=76 и BC=BM. Найдите АН.

Фото задания: 12. В треугольнике АВС ВМ — медиана и ВН — высота. Известно, что АС=76 и BC=BM. Найдите АН.Фото задания

Ответ:

Решение:

В \( \triangle ABC \):

  1. Дано: \( BM \) — медиана, \( BH \) — высота, \( AC = 76 \), \( BC = BM \).
  2. Найти: \( AH \).
  3. Так как \( BM \) — медиана, то \( M \) — середина \( AC \). Следовательно, \( AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{76}{2} = 38 \).
  4. Рассмотрим \( \triangle BCM \). Так как \( BC = BM \), то \( \triangle BCM \) — равнобедренный.
  5. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle BCM = \angle BMC \).
  6. В \( \triangle BHC \) угол \( \angle BHC = 90^{\circ} \).
  7. В \( \triangle BHM \) угол \( \angle BHM = 90^{\circ} \) (поскольку \( BH \) — высота).
  8. Рассмотрим \( \triangle BHC \). \( \angle HBC + \angle BCH = 90^{\circ} \).
  9. Рассмотрим \( \triangle ABH \). \( \angle BAH + \angle ABH = 90^{\circ} \).
  10. Рассмотрим \( \triangle BCM \). \( \angle BMC \) — внешний угол для \( \triangle ABM \).
  11. В равнобедренном \( \triangle BCM \) \( \angle BMC = \angle BCM \).
  12. В \( \triangle ABC \) \( \angle BMC \) является углом при основании, а \( \angle BCM \) — углом при основании.
  13. Из \( BC = BM \) следует, что \( \triangle BCM \) равнобедренный. \( \angle BCM = \angle BMC \).
  14. В \( \triangle ABM \) \( \angle BMC \) — внешний угол. \( \angle BMC = \angle BAM + \angle ABM \).
  15. В \( \triangle ABC \): \( \angle BMC \) — угол при основании \( AC \) (в \( \triangle BCM \)).
  16. В \( \triangle BHC \), \( \angle BCH + \angle HBC = 90^{\circ} \).
  17. В \( \triangle ABH \), \( \angle BAH + \angle ABH = 90^{\circ} \).
  18. В \( \triangle ABC \) \( \angle BMC \) — угол при основании. \( \angle BMC = \angle BCM \).
  19. Рассмотрим \( \triangle ABM \). \( BM \) — медиана. \( M \) — середина \( AC \).
  20. В \( \triangle BCM \) \( BC = BM \). \( \angle BCM = \angle BMC \).
  21. Так как \( \angle BMC \) — угол при основании \( AC \) в \( \triangle BCM \), то \( \angle BMC = \angle BCM \).
  22. Рассмотрим \( \triangle ABM \). \( \angle BMC \) — внешний угол. \( \angle BMC = \angle BAM + \angle ABM \).
  23. Так как \( \angle BMC = \angle BCM \) и \( \angle BCM = \angle C \), то \( \angle BMC = \angle C \).
  24. В \( \triangle ABM \) \( \angle BMC \) — внешний угол. \( \angle BMC = \angle BAC + \angle ABM \).
  25. Из \( BC = BM \) следует, что \( \triangle BCM \) равнобедренный. \( \angle BCM = \angle BMC \).
  26. В \( \triangle ABH \) \( \angle BAH + \angle ABH = 90^{\circ} \).
  27. В \( \triangle BHC \) \( \angle BCH + \angle HBC = 90^{\circ} \).
  28. Поскольку \( \angle BMC = \angle BCM \), то \( \angle BAC + \angle ABM = \angle BCM \).
  29. В \( \triangle ABC \) \( \angle C = \angle BCM \).
  30. В \( \triangle BCM \) \( BC = BM \) => \( \angle BCM = \angle BMC \).
  31. Рассмотрим \( \triangle ABM \). \( \angle BMC \) — внешний угол. \( \angle BMC = \angle BAC + \angle ABM \).
  32. Поскольку \( \angle BMC = \angle BCM \) и \( \angle BCM = \angle C \), то \( \angle BMC = \angle C \).
  33. Значит, \( \angle BAC + \angle ABM = \angle C \).
  34. В \( \triangle ABC \) \( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180^{\circ} \).
  35. \( \angle BAC + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ} \).
  36. \( \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC \).
  37. В \( \triangle BCM \) \( \angle BMC = \angle BCM \). \( \angle MBC + \angle BMC + \angle BCM = 180^{\circ} \).
  38. \( \angle MBC + 2 \angle C = 180^{\circ} \) => \( \angle MBC = 180^{\circ} - 2 \angle C \).
  39. \( \angle ABC = \angle ABM + 180^{\circ} - 2 \angle C \).
  40. Из \( \angle BAC + \angle ABM = \angle C \) => \( \angle ABM = \angle C - \angle BAC \).
  41. \( \angle ABC = \angle C - \angle BAC + 180^{\circ} - 2 \angle C = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle C \).
  42. Это просто \( \angle ABC = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle C) \), что верно для любого треугольника.
  43. Вернёмся к \( \triangle BHM \). \( BH \) — высота, \( BM \) — медиана.
  44. В \( \triangle BCM \) \( BC = BM \). \( \triangle BCM \) равнобедренный.
  45. \( \angle BMC = \angle BCM = \angle C \).
  46. В \( \triangle BHC \), \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C \).
  47. В \( \triangle ABH \), \( \angle BAH + \angle ABH = 90^{\circ} \). \( \angle ABH = 90^{\circ} - \angle BAH = 90^{\circ} - \angle A \).
  48. \( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC = (90^{\circ} - \angle A) + (90^{\circ} - \angle C) = 180^{\circ} - (\angle A + \angle C) \).
  49. В \( \triangle ABM \) \( \angle BMC \) — внешний угол. \( \angle BMC = \angle BAM + \angle ABM \).
  50. \( \angle C = \angle A + \angle ABM \) => \( \angle ABM = \angle C - \angle A \).
  51. \( \angle ABC = \angle ABM + \angle HBC = (\angle C - \angle A) + (90^{\circ} - \angle C) = 90^{\circ} - \angle A \).
  52. Но \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle A - \angle C \).
  53. Значит, \( 180^{\circ} - \angle A - \angle C = 90^{\circ} - \angle A \) => \( 90^{\circ} = \angle C \). Но \( \triangle ABC \) не обязательно прямоугольный.
  54. Рассмотрим \( \triangle BHM \). \( BM \) — гипотенуза, \( BH \) — катет. \( HM = \sqrt{BM^2 - BH^2} \).
  55. Рассмотрим \( \triangle BHC \). \( BC \) — гипотенуза. \( BH^2 + HC^2 = BC^2 \).
  56. \( HC = MC - HM = 38 - HM \) или \( HC = HM - MC = HM - 38 \).
  57. \( BH^2 + (38 - HM)^2 = BC^2 \).
  58. \( BH^2 + 38^2 - 76 HM + HM^2 = BC^2 \).
  59. \( (BM^2 - HM^2) + 38^2 - 76 HM + HM^2 = BC^2 \).
  60. \( BM^2 + 38^2 - 76 HM = BC^2 \).
  61. Так как \( BC = BM \), то \( BC^2 + 38^2 - 76 HM = BC^2 \).
  62. \( 38^2 - 76 HM = 0 \).
  63. \( 76 HM = 38^2 \).
  64. \( HM = \frac{38^2}{76} = \frac{38 \cdot 38}{2 \cdot 38} = \frac{38}{2} = 19 \).
  65. \( AH = AM + MH = 38 + 19 = 57 \). (Если \( H \) между \( A \) и \( M \)).
  66. Или \( AH = AM - HM = 38 - 19 = 19 \). (Если \( M \) между \( A \) и \( H \)).
  67. Или \( AH = HM - AM = 19 - 38 \) (невозможно).
  68. Поскольку \( \triangle BCM \) равнобедренный с \( BC = BM \), то \( \angle BMC = \angle BCM \). \( BH \) — высота. \( BM \) — медиана.
  69. В равнобедренном \( \triangle BCM \) медиана \( BM \) не может быть гипотенузой.
  70. В \( \triangle BHC \): \( HC = MC - HM = 38 - HM \) (если \( H \) между \( M \) и \( C \)).
  71. \( BC^2 = BH^2 + HC^2 \). \( BM^2 = BH^2 + HM^2 \). \( BC^2 - BM^2 = HC^2 - HM^2 \).
  72. Так как \( BC = BM \), то \( HC^2 - HM^2 = 0 \).
  73. \( HC^2 = HM^2 \) => \( HC = HM \) (поскольку длины положительны).
  74. \( MC - HM = HM \) (если \( H \) между \( M \) и \( C \)).
  75. \( MC = 2 HM \).
  76. \( 38 = 2 HM \) => \( HM = 19 \).
  77. \( AH = AM + HM = 38 + 19 = 57 \).
  78. Если \( M \) между \( H \) и \( C \), то \( HM = HC + MC \). \( HM = HC + 38 \).
  79. \( HC = HM - 38 \). \( HC^2 = (HM - 38)^2 = HM^2 - 76 HM + 38^2 \).
  80. \( HC^2 = HM^2 \) => \( HM^2 = HM^2 - 76 HM + 38^2 \) => \( 76 HM = 38^2 \) => \( HM = 19 \).
  81. \( HC = 19 - 38 = -19 \) (невозможно).
  82. Если \( H \) находится вне отрезка \( MC \) со стороны \( C \) (т.е. \( H \) между \( M \) и \( C \)), то \( MC = HM - HC \). \( 38 = HM - HC \).
  83. \( HC = HM - 38 \).
  84. \( HC^2 = HM^2 \) => \( (HM - 38)^2 = HM^2 \) => \( HM^2 - 76 HM + 38^2 = HM^2 \) => \( 76 HM = 38^2 \) => \( HM = 19 \).
  85. \( AH = AM + MH = 38 + 19 = 57 \).
  86. Убедимся, что \( H \) находится между \( A \) и \( M \).
  87. Если \( H \) лежит на \( AC \) между \( M \) и \( C \), то \( HC = MC - HM = 38 - 19 = 19 \). \( HC = HM \) верно.
  88. \( AH = AM + MH = 38 + 19 = 57 \).
  89. Если \( H \) лежит на \( AC \) между \( A \) и \( M \), то \( AM = AH + HM \) => \( 38 = AH + 19 \) => \( AH = 19 \).
  90. В этом случае \( HC = HM + MC = 19 + 38 = 57 \). \( HC \neq HM \).
  91. Следовательно, \( H \) находится между \( M \) и \( C \).
  92. \( HM = 19 \). \( AH = AM + HM = 38 + 19 = 57 \).

Ответ: 57.