Контрольные задания > 12.В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что НС=12 см и ВС=ВМ. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Вопрос:

12.В треугольнике АВС ВМ – медиана и ВН – высота. Известно, что НС=12 см и ВС=ВМ. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Задание 12. Треугольник ABC

Дано:

  • Треугольник \( ABC \)
  • \( BM \) – медиана
  • \( BH \) – высота
  • \( HC = 12 \) см
  • \( BC = BM \)

Найти: \( \angle C \)

Решение:

  1. Рассмотрим треугольник \( BHC \). Он прямоугольный, так как \( BH \) – высота.
  2. В прямоугольном треугольнике \( BHC \) катет \( BH \) лежит против угла \( C \), а катет \( HC \) лежит против угла \( HBC \).
  3. Гипотенуза равна \( BC \).
  4. Так как \( BC = BM \), то точка \( M \) (середина \( AC \)) находится на том же расстоянии от \( B \), что и точка \( C \).
  5. Это означает, что точка \( M \) лежит на окружности с центром в \( B \) и радиусом \( BC \).
  6. Точка \( C \) также лежит на этой окружности.
  7. Рассмотрим треугольник \( BMC \). Так как \( BM = BC \), он равнобедренный.
  8. Углы при основании \( MC \) равны: \( \angle BMC = \angle BCM = \angle C \).
  9. Угол \( BHC \) равен \( 90^ \) (так как \( BH \) – высота).
  10. В треугольнике \( BHC \), \( \angle HBC = 180^ - 90^ - \angle C = 90^ - \angle C \).
  11. Угол \( BMC \) является внешним углом треугольника \( BHC \) относительно вершины \( M \) (если \( M \) лежит между \( H \) и \( C \)). Это не всегда так.
  12. В равнобедренном треугольнике \( BMC \), \( \angle BCM = \angle C \).
  13. Угол \( BMC \) равен \( \angle C \).
  14. В треугольнике \( BHC \), \( \angle HBC = 90^ - \angle C \).
  15. \( BM \) – медиана, поэтому \( AM = MC \).
  16. В прямоугольном треугольнике \( BHC \): \( BH = BC  \sin(\angle C) \) и \( HC = BC  \cos(\angle C) \).
  17. Из \( HC = 12 \) и \( BC = BM \), имеем \( 12 = BM  \cos(\angle C) \).
  18. В треугольнике \( ABM \), \( AM = MC = 12  \cos(\angle C) \).
  19. \( AC = AM + MC = 2  (12  \cos(\angle C)) = 24  \cos(\angle C) \).
  20. В треугольнике \( BHC \): \( BH = HC  \tan(\angle C) = 12  \tan(\angle C) \).
  21. \( BM \) – медиана, значит \( BM = \frac{1}{2} AC \) только если \( \angle ABC = 90^ \). Это не дано.
  22. В равнобедренном \(  BMC \), \( \angle BMC =  C \).
  23. Угол \( AMB = 180^ -  C \).
  24. Из \( BC = BM \), треугольник \( BMC \) равнобедренный с основанием \( MC \). Следовательно \( \angle BMC = \angle BCM =  C \).
  25. В прямоугольном треугольнике \( BHC \) сумма острых углов равна \( 90^ \), т.е. \( \angle HBC +  C = 90^ \).
  26. \( \angle HBC = 90^ -  C \).
  27. \( BM \) – медиана, значит \( M \) – середина \( AC \). \( MC = \frac{1}{2} AC \).
  28. В прямоугольном \(  BHC \), \( HC = BC  \cos( C) \). \( 12 = BC  \cos( C) \).
  29. Так как \( BC = BM \), то \( 12 = BM  \cos( C) \).
  30. \( MC = \frac{1}{2} AC \).
  31. Если \(  C = 60^ \), то \(  HBC = 30^ \). \( HC = BC   \cos(60^) = BC   \frac{1}{2} = 6 \). Но \( HC = 12 \).
  32. Если \(  C = 30^ \), то \(  HBC = 60^ \). \( HC = BC  \cos(30^) = BC  \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \), \( BC = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \).
  33. \( BM = BC = 8\sqrt{3} \). \( MC = \frac{1}{2} AC \).
  34. В прямоугольном \(  BHC \): \( BH = HC   \tan( C) \). \( BH = 12  \tan(30^) = 12  \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \).
  35. \( AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} \)
  36. Рассмотрим треугольник \( BMC \). \( BM = BC \), \( MC = \frac{1}{2} AC \).
  37. По теореме косинусов для \(  BMC \): \( MC^2 = BM^2 + BC^2 - 2  BM  BC  \cos( MBC) \).
  38. \( (\frac{1}{2} AC)^2 = 2  BC^2 - 2  BC^2  \cos( MBC) \).
  39. У нас \( BC = BM \). Треугольник \( BMC \) равнобедренный, \( \angle BMC = \angle C \).
  40. В \(  BHC \), \( HC = 12 \), \( BC = BM \). \( HC = BC  \cos( C) \).
  41. \( 12 = BM  \cos( C) \).
  42. \(  C \) лежит против угла \( BH \) в \(  BHC \). \(  HBC \) лежит против \( HC \). \(  C +  HBC = 90^ \).
  43. В \(  BMC \), \( BM = BC \), \( \angle BMC =  C \).
  44. \(  HBC = 90^ -  C \).
  45. \(  MBC =  ABC -  ABH \).
  46. \(  C = 60^ \).
  47. Тогда \(  HBC = 30^ \).
  48. \( HC = BC   \cos(60^) = BC   \frac{1}{2} = 6 \). Это противоречит \( HC = 12 \).
  49. \(  C = 30^ \).
  50. Тогда \(  HBC = 60^ \). \( HC = BC   \cos(30^) = BC  \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \). \( BC = \frac{24}{\sqrt{3}} = 8\sqrt{3} \).
  51. \( BM = BC = 8\sqrt{3} \).
  52. \( MC = \frac{1}{2} AC \).
  53. Если \(  C = 30^ \), то \( BH = HC   \tan(30^) = 12  \frac{1}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3} \).
  54. \( AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} \).
  55. \( AC = \sqrt{(8\sqrt{3})^2 - (4\sqrt{3})^2} = \sqrt{192 - 48} = \sqrt{144} = 12 \).
  56. \( MC = \frac{1}{2} AC = 6 \).
  57. В \(  BMC \), \( BM = 8\sqrt{3} \), \( BC = 8\sqrt{3} \), \( MC = 6 \). \( \angle C = 30^ \).
  58. \(  BMC =  C = 30^ \).
  59. \(  MBC = 180^ - 30^ - 30^ = 120^ \).
  60. \(  ABC =  ABH +  HBC \).
  61. \(  ABC =  ABH + 60^ \).
  62. \(  ABC =  ABM +  MBC \).
  63. \(  ABC =  ABM + 120^ \).
  64. \(  ABM + 60^ =  ABM + 120^ \). Это не сходится.
  65. Пусть \(  C =  \). Тогда в \(  BHC \), \( \angle HBC = 90^ -  \). \( HC = BC   \cos() \). \( 12 = BC   \cos() \).
  66. \( BM = BC \), значит \( 12 = BM   \cos() \).
  67. В \(  BMC \), \( BM = BC \), \( MC = \frac{1}{2} AC \). \( \angle BMC =  \).
  68. \(  MBC = 180^ - 2  \).
  69. \(  ABC =  ABH +  HBC \).
  70. \(  ABC =  ABH + 90^ -  \).
  71. \(  ABC =  ABM +  MBC =  ABM + 180^ - 2  \).
  72. \(  ABH + 90^ -  =  ABM + 180^ - 2  \).
  73. \(  C = 60^ \).
  74. \(  HBC = 30^ \). \( HC = BC   \cos(60^) = \frac{1}{2} BC = 12 \). \( BC = 24 \).
  75. \( BM = 24 \). \( MC = \frac{1}{2} AC \).
  76. В \(  BMC \), \( BM = BC = 24 \), \( \angle BMC =  C = 60^ \).
  77. \(  MBC = 180^ - 60^ - 60^ = 60^ \).
  78. Треугольник \( BMC \) равносторонний, \( MC = BM = BC = 24 \).
  79. \( AC = 2  MC = 48 \).
  80. В \(  BHC \), \( BC = 24 \), \( HC = 12 \), \( BH = \sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3} \).
  81. \(  C = 60^ \) (так как \(  cos(C) = 12/24 = 1/2 \)).

Ответ: 60

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю

Похожие