№12) Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 209 км. На следующий день он отправился обратно в А, увеличив скорость на 8 км/ч. По пути он сделал остановку на 8 часов, в результате чего затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.

Решение:

Пусть \( v \) км/ч — скорость велосипедиста на пути из А в В.

Время в пути из А в В:

\[ t_{AB} = \frac{S}{v} = \frac{209}{v} \] часов.

Скорость велосипедиста на пути из В в А:

\( v_{BA} = v + 8 \) км/ч.

Время в пути из В в А (без учёта остановки):

\( t_{BA\_без\_ост} = \frac{S}{v_{BA}} = \frac{209}{v + 8} \) часов.

Общее время в пути из В в А (с учётом остановки):

\( t_{BA} = t_{BA\_без\_ост} + 8 = \frac{209}{v + 8} + 8 \) часов.

По условию задачи, время в пути из А в В равно времени в пути из В в А:

\( t_{AB} = t_{BA} \)

\( \frac{209}{v} = \frac{209}{v + 8} + 8 \)

Умножим обе части уравнения на \( v(v + 8) \) для избавления от знаменателей:

\( 209(v + 8) = 209v + 8v(v + 8) \)

Раскроем скобки:

\( 209v + 209 \cdot 8 = 209v + 8v^2 + 64v \)

\( 209v + 1672 = 209v + 8v^2 + 64v \)

Сократим \( 209v \) с обеих сторон:

\( 1672 = 8v^2 + 64v \)

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 8v^2 + 64v - 1672 = 0 \)

Разделим уравнение на 8:

\( v^2 + 8v - 209 = 0 \)

Решим полученное квадратное уравнение. Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-209) = 64 + 836 = 900 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Найдём корни по формуле:

\[ v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 30}{2} = \frac{22}{2} = 11 \]

\[ v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{900}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 30}{2} = \frac{-38}{2} = -19 \]

Так как скорость не может быть отрицательной, то \( v = 11 \) км/ч.

Ответ: 11 км/ч.