12. Водитель автомобиля начал торможение. За первую секунду после начала торможения автомобиль проехал 32 м, а за каждую следующую секунду он проезжал на 5 м меньше, чем за предыдущую. Сколько метров автомобиль прошёл за первые 7 секунд торможения?

Дано:

• Путь, пройденный за 1-ю секунду: \( s_1 = 32 \text{ м} \)
• Уменьшение пути каждую следующую секунду: \( d = 5 \text{ м} \)
• Количество секунд: \( n = 7 \)

Найти:

• Общий путь за первые 7 секунд: \( S_7 \)

Решение:

Данная задача описывает арифметическую прогрессию, где первый член \( s_1 = 32 \) м, а разность \( d = -5 \) м (так как путь уменьшается).

Мы можем найти путь, пройденный за каждую из 7 секунд:

• 1-я секунда: \( s_1 = 32 \text{ м} \)
• 2-я секунда: \( s_2 = 32 - 5 = 27 \text{ м} \)
• 3-я секунда: \( s_3 = 27 - 5 = 22 \text{ м} \)
• 4-я секунда: \( s_4 = 22 - 5 = 17 \text{ м} \)
• 5-я секунда: \( s_5 = 17 - 5 = 12 \text{ м} \)
• 6-я секунда: \( s_6 = 12 - 5 = 7 \text{ м} \)
• 7-я секунда: \( s_7 = 7 - 5 = 2 \text{ м} \)

Теперь найдем сумму этих путей, чтобы узнать общее расстояние, пройденное за первые 7 секунд:

\( S_7 = s_1 + s_2 + s_3 + s_4 + s_5 + s_6 + s_7 \)

\( S_7 = 32 + 27 + 22 + 17 + 12 + 7 + 2 \)

Сложим числа:

\( S_7 = (32+2) + (27+7) + (22+12) + 17 \)

\( S_7 = 34 + 34 + 34 + 17 \)

\( S_7 = 3 \times 34 + 17 \)

\( S_7 = 102 + 17 \)

\( S_7 = 119 \text{ м} \)

Альтернативное решение с использованием формулы суммы арифметической прогрессии:

Формула суммы первых \( n \) членов арифметической прогрессии:

\( S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) \)

Где \( a_1 \) — первый член, \( n \) — количество членов, \( d \) — разность прогрессии.

Подставляем наши значения:

\( S_7 = \frac{7}{2}(2 \times 32 + (7-1)(-5)) \)

\( S_7 = \frac{7}{2}(64 + (6)(-5)) \)

\( S_7 = \frac{7}{2}(64 - 30) \)

\( S_7 = \frac{7}{2}(34) \)

\( S_7 = 7 \times 17 \)

\( S_7 = 119 \text{ м} \)

Ответ: 119 м